Soluções Cálculo – Semana 29

Iniciante

Pela Regra do Quociente, $f'(x)=\frac{(x+1)D(2)-2D(x+1)}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)(0)-2(1)}{(x+1)^2}=\frac{-2}{(x+1)^2}$

Intermediário

Tome cuidado ao diferenciar este tipo de função – composta – (neste caso, uma variável elevada a uma outra função cujo expoente é a própria variável). Antes de derivar, tente sempre simplificar antes, de alguma forma. Comece com $y = x^{e^x}$. Aplique logaritmo natural aos dois lados da equação, tendo
$\ln y = \ln x^{(e^x)}$
$=e^x \ln x$
Agora, derive os dois lados da equação:
$\ln y = e^x \ln x$
$\displaystyle{ { 1 \over y } } y' = e^x \Big\{ \displaystyle{ 1 \over x } \Big\} + e^x \ln x$
$=\displaystyle{ e^x \over x } + e^x \ln x \Big\{ \displaystyle{ x \over x } \Big\}$
$=\displaystyle{ e^x \over x } + \displaystyle{ x e^x \ln x \over x }$
$=\displaystyle{e^x + x e^x \ln x \over x}$
$=\displaystyle{e^x (1 + x \ln x ) \over x }$
$y' = y \displaystyle{e^x (1 + x \ln x ) \over x }$
$=x^{(e^x)} \displaystyle{e^x (1 + x \ln x ) \over x^1 }$
$=x^{(e^x-1)} e^x (1 + x \ln x )$

Avançado

Sugestão: utilize, para este problema, Integração por Substituição. Seja $u=e^{x}$ tal que
$du=e^{x}dx$. Agora simplifique a função de tal forma que:
$\displaystyle{ \int { e^{3x} \over 1 + e^{2x} } \,dx = \int { e^{2x+x} \over 1 + (e^{x})^2} \,dx}$
$=\displaystyle{\int { e^{2x} e^{x} \over 1 + (e^{x})^2 } \,dx}$
$=\displaystyle{ \int { (e^{x})^2 e^{x} \over 1 + (e^{x})^2 } \,dx }$
$=\displaystyle{ \int { (e^{x})^2 \over 1 + (e^{x})^2 } e^{x} \,dx }$
$\displaystyle{ \int { (e^{x})^2 \over 1 + (e^{x})^2 } e^{x} \,dx }=\displaystyle{ \int { u^2 \over 1 + u^2 } \, du}$
$=\displaystyle{ \int { u^2 + 1 - 1 \over u^2 + 1 } \, du}$
$=\displaystyle{ \int \Big\{ {u^2+1 \over u^2+1} - {1 \over u^2+1} \Big\} \, du}$
$=\displaystyle{ \int \Big\{ 1 - {1 \over u^2 + 1} \Big\} \, du}$
$=\displaystyle{ u - \arctan u + C }$
$=\displaystyle{ e^x - \arctan (e^x) + C }$