Soluções Cálculo – Semana 5

Iniciante

Este problema é bem simples. Sabemos que derivada da posição é velocidade, portanto basta derivar

$$s=-sin(x)\Longrightarrow s'=v$$

Sabemos também, pela propriedade de derivadas e integrais de funções trigonométricas como seno e cosseno, que a derivada de $-sin(x)$ \é $-cos(x)$. Logo, a velocidade do carrinho será:

$$-cos(1.42)\simeq -0,15 u.v.$$

Intermediário

Sabendo que a taxa (derivada) de clientes que chegam ao balcão é

$$F(t)=12+6cos(t/\pi)$$

ao integrarmos esta taxa, encontraremos o número aproximado (já que estamos lidando com pessoas e praticamente não dá para dividi-las, se não somos presos por homicídio doloso ou por tortura) de clientes – que chegam ao balcão. Logo,

$$\displaystyle \int_{0}^{60} 12+6cos(t/\pi)dt$$

será nosso objetivo. Isso é igual a

$$\displaystyle \int_{0}^{60} 12dt + \displaystyle \int_{0}^{60}6cos(t/\pi)dt$$

Que é igual a (achando as antiderivadas e colocando-as nos intervalos dados) $12t$ nos intervalos de $0$ a $60$ mais $6\pi(sin(t/\pi))$ também nos intervalos de $0$ a $60$.
Ou seja,

$$12\cdot(60)-12\cdot(0)+6\pi(sin(60/\pi))-6sin(0)$$

que é, aproximadamente, $725$ pessoas!

Avançado

O truque aqui (além de construir uma máquina do tempo) é utilizar o método de integração de decomposição em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:

$$\displaystyle \int \frac{x^2+x+1}{x(x+1)(x-1)}dx=\displaystyle \int \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}dx$$

Então, depois de acharmos um denominador comum e adicionarmos frações, teremos:

$$A(x+1)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+1)=x^2+x+1$$

Agora, podemos atribuir valores a $x$ para encontrarmos $A$, $B$ e $C$: se

$$x=0\Longrightarrow A\cdot(-1)+B\cdot(0)+C\cdot(0)=-1\Longrightarrow A=-1$$

Reparem o zero, que cancela $B$ e $C$ e nos faz saber $A$. Outro valor de propriedade semelhante é:

$$x=-1\Longrightarrow A\cdot(0)+B\cdot(2)+C\cdot(0)=-1\Longrightarrow B=-\frac{1}{2}$$

Novamente,

$$x=1\Longrightarrow A\cdot(0)+B\cdot(0)+C\cdot(2)=1\Longrightarrow C=\frac{1}{2}$$

Agora, substituindo na integral o que encontramos, teremos:

$$\displaystyle \int \frac{1}{x}+\frac{\frac{-1}{2}}{x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}dx=\displaystyle \int \frac{1}{x}-\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{x-1}dx$$

Logo, nosso resultado será:

$$\ln\left|x\right|-\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+C$$

$\ln\left|x\right|+\frac{1}{2}[\ln\left|x-1\right|-\ln\left|x+1\right|]+C$

Como

$$\ln\left|m\right|-ln\left|n\right|=\ln\left|\frac{m}{n}\right|$$

teremos:

$$ln\left|x\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$$

Tendo isso em mãos, agora você pode conseguir ajudá-los e receber seus queridos autógrafos nerds como recompensa! Viva o Cálculo (e a Viagem no Tempo)!!!