Soluções Cálculo – Semana 9

Iniciante

Para acharmos os pontos ou valores críticos da função, que é contínua, podemos derivar toda a função e igualar o que acharmos a zero. Assim, encontraremos os pontos candidatos a máximo ou a mínimo! Logo, teremos:

$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)$

Como $f'(x)$ deve ser igual a zero, e como a função é contínua para todo $x$ , teremos que os únicos pontos críticos são $x=1$ e $x=2$ .

Intermediário

Ao utilizar-se a regra do quociente de derivação, $f'(x)$ será igual a:

$\frac{[x^2-ln(x)]\cdot d[1+ln(x)]-[(1+ln(x)]\cdot d[x^2-ln(x)]}{[x^2-ln(x)]^2}$

$=\frac{(x^2-ln(x))(0+\frac{1}{x})-(1+ln(x))(2x-\frac{1}{x})}{[x^2-ln(x)]^2}$

$=\frac{x-\frac{ln(x)}{x}-(2x-\frac{1}{x}+2x\cdot ln(x)-\frac{ln}{x})}{[x^2-ln(x)]^2}$

$=\frac{x-\frac{ln(x)}{x}-2x+\frac{1}{x}-2x\cdot ln(x)+\frac{ln(x)}{x}}{[x^2-ln(x)]^2}$

$=\frac{\frac{1}{x}-x-2x\cdot ln(x)}{[x^2-ln(x)]^2}$

Agora, para simplificar a expressão, podemos fazer o seguinte:

$(\frac{1}{x}+(-x-2x\cdot ln(x))\frac{x}{x})\cdot \frac{1}{[x^2-ln(x)]^2}$

$=\frac{1-x^2-2x^2ln(x)}{x}\cdot \frac{1}{[x^2-ln(x)]^2}$

$=\frac{1-x^2-2x^2\cdot ln(x)}{x[x^2-ln(x)]^2}$

Avançado

Para integrarmos o que nos foi dado, um jeito é usar as regras de integração mesmo e, depois, pelo método de integração por substituição, chegar ao resultado final. Assim, podemos definir inicialmente um $v$ como: $v=arcsin(3x)$ . Assim,

$dv=3\cdot \frac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}}dx$

$=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}dx$

Logo,

$\displaystyle \int arcsin(3x)dx=x\cdot arcsin(3x)-\displaystyle \int x\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}dx$

Agora, realmente por substituição em $u$ , temos: $u=1-9x^2$ $\longrightarrow$ $du=-18x\cdot dx$ Então:

$\displaystyle \int arcsin(3x)dx=x\cdot arcsin(3x)-3\displaystyle \int x\frac{1}{\sqrt{1-9x^2}}dx=x\cdot arcsin(3x)-3\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot \frac{-1}{18}du$