Soluções – Problemas da semana 08/05/2023 – 19/05/2023

Solução 1:

Note que $\angle CDZ=\angle CDE=\angle BDE+\angle BED=90^{\circ}+\angle B$ e sabemos que $\angle ZBC=\angle OBC=90^{\circ}-\angle B$, logo $\angle ZDC+\angle ZOC=90^{\circ}+\angle B+90^{\circ}-\angle B=180^{\circ}$. Logo o quadrilátero é cíclico!

Solução 2:

Façamos um grafo G com vértices $\{ 1,2,3,\dots, p\}$. Ligamos uma aresta entre os vértices $i$ e $j$ com a cor

$k\equiv -\frac{a_j-a_i}{j-i} \pmod p$

Com $0\le k< p$, assim, usamos no máximo p cores nas arestas e temos $\binom p2$ arestas. assim, alguma cor foi usada menos que $\frac 1p \binom p2=\frac{p-1}2$ Assim, existe um subgrafo de $G$ com \frac{p-1}2 arestas e $p$, vamos provar que esse grafo tem pelo menos $\frac{p+1}2$ componentes conexas:

Como uma componente conexa é pelo menos uma árvore $\implies$ número de arestas de cada componente conexa $\ge$ número de vértices de cada componente $-1$, assim, $\mbox{#arestas}\ge \mbox{#vertices} -\mbox{#componentes conexas}\implies \frac{p-1}2\ge p-\mbox{#componentes conexas}\implies \mbox{#componentes conexas}\ge \frac{p+1}2\ge \frac p2$, assim, existe uma cor com pelo menos $\frac p2$ restos distintos, como queríamos.

Solução 3:

Veja que, para todo $r\in \mathbb{R}$ tal que $P(r)\in \mathbb{Z}\implies P(2r)\in \mathbb{Z}$. Assim, seja $Q(x)=P(2x)-2^dP(x)$, onde $d=deg P$. Veja que o grau de $Q$ é no máximo $d-1$ e que o conjunto

$A=\{ x\mid P(x)\in \mathbb{Z}\} \subseteq B=\{ x\mid Q(x)\in \mathbb{Z}\}$

sabemos que $P,Q$ são eventualmente monótonos, se que não é constante ($\exists M\in\mathbb{N}\mbox{tal que} \forall m>M P(m)>P(m-\epsilon), Q(m)>Q(m-\epsilon)\forall\epsilon>0$). Logo,

$|Q(M+r)-Q(M)\ge |B\cap [Q(M),Q(M+r)]|\ge A\cap [P(M),P(M+r)]|=P(M+r)-P(M),r\in \mathbb{N}$

Veja que isso é um polinômio de grau $d$ em função de $r$, que sempre é menor que um polinômio de grau menor que $d\rightarrow Abs!$

Assim, $Q$ é constante $\implies 2^dP[x^i]=Q[x^i]\forall i\neq 0\implies 2^da_i=2^ia_i\implies a_i=0\implies P(x)=ax^d+c$. é fácil provar que isso só vai funcionar quando $a=1$