Soluções Astronomia – Semana 46

INICIANTE

Para resolvermos o problema, devemos conhecer a magnitude limite para visibilidade humana, dada por $m=6$ para a abertura da pupila de 6mm.

Assim, pela equação de Pogson, temos:

$m-M=-2,5\log\frac{f}{F}$

Tratando-se de um mesmo objeto de luminosidade constante,

$m-M=5\log\frac{d}{10}$

  Substituindo valores de m e $M=M_\odot=+4.8$, obtemos

$d=17$ pc

 

INTERMEDIÁRIO

Para resolvermos o exercício, é necessário estabelecer um sistema coordenado no ciclo precessional da imagem, para assim, o ângulo $\theta$ ser encontrado.

Podemos definir:

 

 

Assim, temos uma proporção de

$\frac{r_{thuban}}{r}=\frac{15}{16}$

Dessa forma, temos

$sen{\theta}={\frac{r_{thuban}}{r}}$

Assim,

$\frac{T_{pres}}{360�}=\frac{\Delta t}{360�-\theta}$

$\Delta t=20789$ anos

AVANÇADO

Para resolvermos o problema, devemos, primeiramente, analisar o tipo de órbita que a nave descreve.

Como tem sua origem em um ponto muito distante e não pretende permanecer por muito tempo no Sistema Solar, temos que a órbita  hiperbólica.

Para o tamanho da pupila humana, o menor ângulo que pode ser resolvido por um ser humano, no visível ($\lambda=550$nm) é:

$\theta_{PR}=1,22\cdot\frac{550\cdot10^{-9}}{6\cdot10{-3}}$

Assim, a distância da nave é de:

$\theta_{PR}\approx \tan{\theta_{PR}}=\frac{l_{nave}}{d}$

$d=38,4$ km

Estabelecendo uma conservação de energia na órbita:

$\frac{GM_{Sol}}{a}={v_{inf}^{2}}$

$a=1,33\cdot10^{12}$ m

Logo, como d<<a e, no infinito, \theta observado da nave na Terra será próximo ao ângulo de desvio,

$c=d_{t}+a+d\approx d_{t}+a$

$cos{\theta}=\frac{a}{c}$

$\theta \approx 30$ graus

Dessa forma, para a espaçonave no plano da eclíptica e mesmo sentido de órbita da Terra, e sabendo que, no dia 22/06 as coordenadas do Sol eram de (+23,5;90), podemos definir 2 triângulos esféricos:

 

Assim, temos

$sen{\delta}=sen{60} sen{\varepsilon}$

$sen{\lambda}=\frac{cos{30}-sen{\varepsilon}sen{\delta}}{cos{\varepsilon}}{cos{\delta}}$

Coordenadas: ($\delta;\lambda$)=($+20,2; 57,8$)