Soluções Astronomia - Semana 63

INICIANTE

Primeiramente devemos calcular a distância focal a partir da razão focal

$\dfrac{f}{10} = D$

Substituindo D temos que:

$f = 3.00m$

agora podemos calcular a escala de placa com a seguinte fórmula:

$p = \dfrac {206265}{f}$

substituindo f em mm temos que:

$p = 68.8"/mm$

INTERMEDIÁRIO

Inicialmente precisamos calcular a distância focal da objetiva $f$:

$\dfrac{f}{8} = D = 0,2 \Longrightarrow f = 1,6\, m$

Para calcular a escala de placa $s$ em $rad/\hbox{pixel}$:

$s =\dfrac{L_p}{f}\Longrightarrow s \approx 1,063\cdot 10^{-6}\, rad/\hbox{pixel}$

Como a nuvem está contida dentro deu um quadrado de $6\times 6\, \hbox{pixels}$, pode-se encontra um valor máximo para o diâmetro angular e para o raio da nuvem por $\left( d = 250\, pc \right)$:

$\theta = \dfrac{2\cdot R}{d} < 6\cdot s \Longrightarrow R < 2,46\cdot 10^{13}\, m$

Agora para determinar se a nuvem irá sofrer um colapso gravitacional é necessário calcular o comprimento de Jeans $\left( \rho = \mu\cdot m_H\cdot n\right)$:

$\lambda_J \approx \left( \dfrac{15\cdot k_B\cdot T}{4\cdot \pi \cdot G\cdot \mu \cdot m_H \cdot \rho} \right)^{\frac{1}{2}} \Longrightarrow \lambda_J \approx 1,5\cdot 10^{15}\, m$

Como $R << \lambda_J$ a nuvem provavelmente não colapsará.

AVANÇADO

a) Primeiramente, é importante saber as diferenças entre os modelos Kepleriano e Galileano, que você encontra aqui.

O comprimento $L_{i}$ de cada telescópio é:

$L_{K}=F_{obK}+F_{ocK}$ e $L_{G}=F_{obG}-|F_{ocG}|$

O aumento $A$ e razão focal $R$ são:

$A_{i}=\frac{F_{obi}}{|F_{oci}|}$ e $R_{i}=\frac{F_{obi}}{D}$, onde $D$ é o diâmetro do telescópio

*o uso do módulo foi para compararmos os valores absolutos dos aumentos

Manipulando as equações, podemos escrever então:

$R_{K}=\frac{AL}{D(A+1)}$ e $R_{G}=\frac{AL}{D(A-1)}$, pois os comprimentos e diâmetros dos telescópios são iguais

Podemos ver portanto que a razão focal do modelo Galileano é maior, logo a primeira vitória é de Galileu!

b)

INTRODUÇÃO:

Primeiramente, precisamos saber onde os raios que passam pela objetiva se convergem. Como os raios estão vindo de um objeto muito distante, praticamente no infinito, podemos dizer que eles passam pela objetiva paralelos entre si. A definição de plano focal é: 'raios incidentes paralelos convergem em um plano normal ao eixo óptico da lente, o plano focal'. Concluímos assim que os raios se convergem nesse plano. Para calcular a posição do plano focal, podemos usar a equação da conjugação de Gauss, para um objeto distante:

$\frac{1}{F}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'} \Rightarrow p'=F$, logo os raios vão para uma distância igual a distância focal da lente

Agora, analisando caso a caso:

Kepleriano:

Pela equação da conjugação de Gauss:

$\large{\frac{1}{F_{ocK}}=\frac{1}{F_{ocK}+x}+\frac{1}{q}}$

Reescrevendo:

$\large{x_{K}=\frac{F_{ocK}^2}{q-F_{ocK}}}$

Galileano:

Lembre-se de que $|f|=-f$ para $f$ negativo

Assim, pela equação da conjugação de Gauss:

$\large{\frac{1}{F_{ocG}}=\frac{1}{-(-(x+F_{ocG}))}+\frac{1}{q}}$

Reescrevendo:

$\large{x_{G}=\frac{F_{ocG}^2}{q-F_{ocG}}}$

Vemos que ambos os deslocamentos são iguais nesse caso!

PROBLEMA:

Deixando certos pontos claros:

• miopia axial: o comprimento do olho aumenta, enquanto a distância focal do cristalino permanece a mesma ($16,3mm$). Lembre-se de que o observador está sem óculos.
• duas lentes que não possuem uma separação entre elas podem ser substituídas por uma única lente com uma distância focal equivalente $F_{eq}$ tal que $\frac{1}{F_{eq}}=\frac{1}{F_1}+\frac{1}{F_2}$ (tente provar isso! Uma ideia muito semelhante pode ser encontrada nesse vídeo)
• para a imagem ser formada nitidamente, a distância entre a ocular (que está "colada ao cristalino) e a retina deve ser $q$

Assim, no caso do telescópio Kepleriano, a luz passa pela objetiva, é direcionada até uma distância $F_{ocK}+x_K$ do sistema (ocular + cristalino), passa por esse sistema, que possui uma distância focal equivalente $F_{eqK}$, e finalmente chega até a retina, que está a uma distância $q$ do cristalino.

Encontrando $q$:

Com o óculos, a associação deste com o cristalino gera uma imagem no fundo da retina, logo:

$\frac{1}{q}=\frac{1}{F_n}+D$, lembrando que dioptria é o inverso da distância focal

Logo, $q=17,14mm$

Encontrando $F_{eqK}$:

a vergência (inverso da distância focal) equivalente é a soma das vergências das lentes (coladas), como foi descrito acima, logo:

$\frac{1}{F_{eqK}}=\frac{1}{F_n}+\frac{1}{F_{ocK}}$

Assim, $F_{eqK}=8,98mm$

Relacionando $x$, $q$, $F_{eq}$ e $F_{ocK}$, através da equação da conjugação de Gauss:

$\large{\frac{1}{F_{eq}}=\frac{1}{x_K+F_{ocK}}+\frac{1}{q}}$

Substituindo os valores, temos $x_K=-1,13mm$

Para o Galileano, temos:

$q$ é o mesmo para ambos, pois é característico do olho

Pela soma das vergências, $F_{eqG}=88,1mm$

$\large{\frac{1}{F_{eqG}}=\frac{1}{-(-(x_G+F_{ocuG}))}+\frac{1}{q}}$

Realizando as contas, temos $x_G=-1,28mm$

Vemos que essa rodada foi do Kepler! Os dois participantes voltam para suas casas decepcionados com o empate... mas estariam eles apenas se preparando para um próximo duelo? Acompanhe os próximos problemas da semana para saber o fim dessa história!

*é possível resolver essa questão para uma miopia tal que o comprimento do olho se mantém, porém com a distância focal do cristalino mudando. Fica como desafio para o leitor!