11A
Bem antes do homem pousar na Lua, a distância da Terra a seu satélite natural foi determinada com ajuda da trigonometria. O alexandrino Hiparco, conseguiu calcular essa distância, após estudar a passagem da Lua pela sombra da Terra (eclipse lunar), em 150 a.C.. O esquema abaixo representa os ângulos e os triângulos criados por Hiparco durante o eclipse citado. Hiparco sabia que a Lua descrevia toda sua trajetória em torno do centro da Terra (CT) em 27,3 dias (aproximadamente 40.000 min). Durante o eclipse citado, a Lua percorreu o arco AB em 100 minutos. Visto do centro da Terra, o raio do Sol (\(R\)) ocupa um ângulo visual \(\gamma\). Como a Terra é bem menor que o Sol, ângulo visual \(\theta\) ocupado pelo raio da Terra (\(r\)) visto do ponto \(Q\) no Sol é bem menor que o ângulo \(\gamma\). Quando passa pelo zênite de um observador na superfície da Terra, o Sol ocupa um ângulo visual de \(0,6^\circ\), valor aproximadamente igual ao dobro de \(\gamma\). Como \(\gamma\) é muito pequeno, \(\theta\) é insignificante para essa situação.
A distância entre a Terra e a Lua que Hiparco obteve difere menos de 10% do valor atual, um feito impressionante para a época. Os ângulos do esquema servem para determinar \(\beta\), com o qual torna-se possível calcular a distância entre a Terra e a Lua. Segundo o enunciado, qual o valor de \(\beta\) obtido por Hiparco?
a) \(0,75^\circ\)
b) \(0,80^\circ\)
c) \(0,85^\circ\)
d) \(0,90^\circ\)
Matemática
Podemos calcular o valor do ângulo \(\alpha\) por regra de três, uma vez que a Lua executa aproxidamente um movimento circular uniforme em torno da Terra:
\[\dfrac{100\, \mathrm{min}}{40.000\,\mathrm{min}}=\dfrac{2\alpha}{360^\circ}\]
\[\alpha=\dfrac{180^\circ}{400}=0,45^\circ\]
A partir da figura, como a soma de todos os ângulos do triângulo \(\Delta QBC_T\) deve ser igual a \(180^\circ\):
\[180^\circ-\gamma-\alpha+\theta+\beta=180^\circ\]
Desprezando \(\theta\) e resolvendo para \(\beta\):
\[\beta\approx \gamma+\alpha\]
\[\beta\approx 0,3^\circ+0,45^\circ=\boxed{0,75^\circ}\]
Logo, o item correto é o item a).
item a)
7B
Um aspecto importantíssimo para qualquer cientista experimental é buscar estratégias que minimizem os erros nas medidas, já que eles são inevitáveis. Nesse aspecto, os espelhos curvos nos proporcionam uma experiência única: a teoria adotada já incorpora tais estratégias. Na Antiguidade, Arquimedes tinha provado que um espelho parabólico possui um foco principal e um espelho esférico possui uma região focal, tornando-o um espelho menos confiável. Em 1840, o físico e matemático alemão Carl Gauss estabeleceu condições para que espelhos esféricos pudessem ser estigmáticos para todos os raios incidentes emitidos pelo objeto. A partir daí, os laboratório passaram a trabalhar com espelhos esféricos gaussianos e cada vez mais a teoria sobre tais espelhos tornou-se a única para espelhos curvos. Se você estudou espelhos curvos, conheceu as relações da óptica gaussiana. Aplique-as para determinar a ampliação linear transversal da imagem de uma vela colocada a 15 cm do centro e a 5 cm do foco, entre esses dois pontos de um espelho esférico côncavo gaussiano.
a) – 5
b) – 4
c) + 4
d) + 5
Óptica
Do enunciado, sabemos que a distância focal do espelho é igual à distância do objeto ao centro somada à distância do objeto ao ponto focal:
\[f=15+5=20\,\mathrm{cm}\]
A distância \(p\) do objeto ao vértice é igual à distância focal somada à distância do foco ao objeto:
\[p=20+5=25\,\mathrm{cm}\]
Pela equação de Gauss,
\[\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p’}\]
\[p’=\dfrac{pf}{p-f}\]
Da equação do aumento,
\[A=-\dfrac{p’}{p}\]
\[A=-\dfrac{f}{p-f}\]
\[A=-\dfrac{20}{5}=\boxed{-4}\]
Logo, o item correto é o item b).
item b)
8B
Em 1781, o astrônomo William Herschell notou um novo planeta que, visto de seu telescópio, tinha a aparência de um pequeníssimo ponto em relação à imensidão do espaço. Assim foi descoberto Urano. Nas 6 décadas seguintes, os astrônomos acompanharam a porção da órbita descrita por Urano e notaram que tinha uma forma diferente da prevista pela teoria vigente, a lei da gravitação universal de Isaac Newton (Fg = G.M.m/d2), considerada infalível. Em 1843, o astrônomo John Adams criou uma hipótese para justificar essa diferença preservando a lei da gravitação universal. Três anos depois, essa hipótese foi validada por diversos astrônomos. Conforme o que foi apresentado no enunciado, qual das alternativas pode ter sido a hipótese sugerida por Adams?
a) O valor G reduz para planetas muito afastados do Sol, provocando órbitas mais alongadas.
b) Para planetas mais externos, a massa do Sol diminui, o que alongou a órbita de Urano.
c) Urano se aproximou de Saturno no trecho que sua órbita ficou mais alongada que a prevista.
d) Urano se aproximou de um planeta desconhecido e mais externo, o qual alongou sua órbita.
Gravitação
a) (F) Sabemos que o modelo clássico é válido para a órbita de Urano, logo a fórmula \(F=GMm/d^2\) ainda é aplicável, embora devamos considerar a interação de Urano com outros corpos.
b) (F) A massa do Sol é uma constante independente do planeta sendo analisado.
c) (F) Como Saturno possui órbita de menor raio do que a de Urano, uma interação entre eles ocasionaria uma aproximação entre os planetas e a consequente diminuição da distância de Urano ao Sol.
d) (V) Como o planeta desconhecido (Netuno) possui órbita de maior raio do que a de Urano, uma interação entre eles ocasionaria uma aproximação entre os planetas e o consequente aumento da distância de Urano ao Sol.
item d)
9B
O alexandrino Hiparco, conseguiu calcular a distância da Terra à Lua, após estudar a passagem da Lua pela sombra da Terra (eclipse lunar), em 150 a.C.. O esquema abaixo representa os ângulos e os triângulos criados por Hiparco durante o eclipse citado.
Hiparco sabia que a Lua descrevia toda sua trajetória em torno do centro da Terra (CT) em 27,3 dias (aproximadamente 40.000 min). Durante o eclipse citado, a Lua percorreu o arco AB em 100 minutos. Visto do centro da Terra, o raio do Sol (\(R\)) ocupa um ângulo visual \(\gamma\). Como a Terra é bem menor que o Sol, ângulo visual \(\theta\) ocupado pelo raio da Terra (\(r\)) visto do ponto \(Q\) no Sol é bem menor que o ângulo \(\gamma\). Quando passa pelo zênite de um observador na superfície da Terra, o Sol ocupa um ângulo visual de \(0,6^\circ\), valor aproximadamente igual ao dobro de \(\gamma\). Como \(\gamma\) é muito pequeno, \(\theta\) é insignificante para essa situação. A distância entre a Terra e a Lua que Hiparco obteve difere menos de 10% do valor atual, um feito impressionante para a época. Os ângulos do esquema serviram para determinar o valor de \(\beta\), com o qual torna-se possível calcular a distância entre a Terra e a Lua. Segundo o enunciado, Hiparco encontrou que valor para essa distância, em função do raio da Terra?
a) \(63r\), pois \(\sin{ 0,90^\circ}= 1/63\)
b) \(67r\), pois \(\sin{ 0,85^\circ}= 1/67\)
c) \(76r\), pois \(\sin{ 0,75^\circ}= 1/76\)
d) \(72r\), pois \(\sin{ 0,80^\circ}= 1/72\)
Matemática
Podemos calcular o valor do ângulo \(\alpha\) por regra de três, uma vez que a Lua executa aproxidamente um movimento circular uniforme em torno da Terra:
\[\dfrac{100\, \mathrm{min}}{40.000\,\mathrm{min}}=\dfrac{2\alpha}{360^\circ}\]
\[\alpha=\dfrac{180^\circ}{400}=0,45^\circ\]
A partir da figura, como a soma de todos os ângulos do triângulo \(\Delta QBC_T\) deve ser igual a \(180^\circ\):
\[180^\circ-\gamma-\alpha+\theta+\beta=180^\circ\]
Desprezando \(\theta\) e resolvendo para \(\beta\):
\[\beta\approx \gamma+\alpha\]
\[\beta\approx 0,3^\circ+0,45^\circ=0,75^\circ\]
Pela imagem:
\[\sin{\beta}=\dfrac{\overline{PC_T}}{\overline{BC_T}}\]
Como o raio da órbita lunar é igual a \(\overline{BC_T}\):
\[R_L=\dfrac{r}{sin{\beta}}\]
\[R_L=\boxed{76r}\]
Logo, o item correto é o item c).
item c)
10B
Experiências escolares para validar as leis de Newton encontram as seguintes dificuldades: (1) são interferidas significativamente pelo atrito; (2) não conseguem manter a força motriz (força que move o sistema) constante e (3) duram um intervalo de tempo muito pequeno, o que prejudica a realização de medições precisas. Essas dificuldades seriam amenizadas se fosse usado o mecanismo mostrado na imagem, o qual foi criado por George de Atwood, em 1784. A máquina de Atwood tinha uma roda ou roldana, a qual girava em torno do seu eixo fixo, e duas cargas, A e B, presas a uma corda apoiada nessa roda. Sobre as características que tornam esse mecanismo um excelente recurso experimental para validar as leis Newton, identifique a alternativa FALSA.
a) A força motriz se mantém constante, já que é produzida por forças constantes – pesos.
b) Uma corda mais pesada garante que a inércia e a força motriz permaneçam constantes.
c) Ao utilizar cargas de massas próximas, aumentará o intervalo de tempo do movimento.
d) Uma roda de massa bem menor que às das cargas reduz a interferência do atrito e de sua inércia.
Dinâmica/Estática
a) (V) Os pesos das massas são constantes durante o movimento e responsáveis por ele.
b) (F) Uma corda mais pesada faz com que a tensão na corda não seja constante em todo o seu comprimento e seu valor também pode variar durante o movimento, variando a força resultante nas massas.
c) (V) Se o peso das massas fosse parecido, as suas acelerações não seriam muito altas por conta da baixa força resultante, ocasionando maior lentidão no movimento.
d) (V) Uma roda muito leve conseguiria adquirir facilmente a velocidade angular necessária para que não houvesse deslizamento entre ela e a corda, de forma que o atrito fosse desprezível.
item b)
11B
Para medir o tempo de um processo muito rápido utiliza-se, em um laboratório apropriado, a fotografia estroboscópica. Essa técnica consiste em deixar o obturador de uma câmera aberto e mirando para o local do processo em um ambiente totalmente escuro. Flashes de luz são emitidos em intervalos de tempo fixos enquanto ocorre o processo. As imagens sucessivas do que foi iluminado intermitentemente ficam registradas em uma única foto. No desen
ho ao lado, vemos a representação de uma fotografia estroboscópica feita de um lançamento horizontal de uma pequena esfera. O momento que inicia o lançamento foi o flash zero, representado na imagem pela esfera preta. As duas imagens seguintes foram indicadas pelos números 1 e 2. Linhas horizontais distanciadas de 25 cm uma da outra foram adicionadas à foto. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s², determine o intervalo de tempo entre dois flashes de luz sucessivos.
a) 1/24 de segundo
b) 2/50 de segundo
c) 3/70 de segundo
d) 1/18 de segundo
Cinemática
Perceba que no \(12^\circ\) flash, a esfera percorreu exatamente \(125 \,\mathrm{cm}\) na direção vertical. Sendo \(\Delta t\) o intervalo de tempo entre dois flashes consecutivos, sua equação de movimento é tal que
\[y=\dfrac{1}{2}gt^2\]
\[1,25=\dfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 12^2\cdot (\Delta t)^2\]
\[\Delta t=\dfrac{5}{120}=\boxed{\dfrac{1}{24}\,\mathrm{s}}\]
Logo, o item correto é o item é o item a).
item a)
12B
No século XVII, Robert Hooke, experimentando o microscópio composto que acabara de inventar, descobriu a célula, ultrapassando os limites da visão humana. Atualmente, em qualquer laboratório de Biologia existe esse tipo de equipamento, cujo funcionamento foi compreendido durante os séculos segu
intes. Digamos que um fino pedaço de pele humana (objeto) senha sido colocado a 5 cm da objetiva (primeira lente) de um microscópio composto. Sabe-se que a imagem formada por essa objetiva fica a 4 cm da ocular (segunda lente), em uma posição entre as lentes. Sabendo que as distancias focais da objetiva e da ocular medem 4 cm e 5 cm, respectivamente, use o conhecimento sobre lentes para calcular o módulo da ampliação linear transversal que esse microscópio está gerando nessa situação.
a) 9
b) 16
c) 20
d) 40
Óptica
Pela equação de Gauss para as lentes,
\[\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p’}\]
\[p’=\dfrac{pf}{p-f}\]
Da equação do aumento,
\[A=-\dfrac{p’}{p}\]
\[A=\dfrac{f}{f-p}\]
Para a lente objetiva, \(f=4\,\mathrm{cm}\) e \(p=5\,\mathrm{cm}\), logo \(A_1=-4\). Para a ocular, \(f=5\,\mathrm{cm}\) e \(p=4\,\mathrm{cm}\), logo \(A_2=5\). O módulo do aumento total é tal que
\[|A|=|A_1A_2|=\boxed{20}\]
Logo, o item correto é o item c).
item c)