Teorema de Euclides
Teorema 1: Existem infinitos números primos.
Prova: Suponha que não existam infinitos números primos. Consequentemente, podemos concluir que existe um maior número primo $$p$$. Olhe para o número
$$p(p-1)(p-2)…1+1= p! +1 = N $$
Note que se $$q$$ é um divisor primo de $$N$$, então $$q \le p$$, por suposição, e daí
$$ q | p! $$
Portanto $$q | N – p! =1$$ absurdo! Isso completa a prova.
Agora tente fazer os seguintes problemas:
P1. Prove que existem infinitos primos que deixam resto $$3$$ na divisão por $$4$$.
P2. Prove que existem infinitos primos que deixam resto $$2$$ na divisão por $$3$$.
P3. Prove que existem infinitos primos que deixam resto $$11$$ na divisão por $$12$$.