Soluções Física – Semana 2

Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)

Primeiramente, calculemos a massa de Marte

$$M = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3 \cdot \mu$$

Agora, se igualarmos a força de atração gravitacional à resultante centripeta, descobriremos a velocidade de Phobos

$$\frac{m \cdot v^2}{r} = \frac{M m }{r^2} G \Rightarrow v = \sqrt{\frac{MG}{r}}$$

Então basta notarmos que o período é o comprimento da órbita dividido pela velocidade e substituirmos os valores

$$P = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{MG}{r}}} \Rightarrow P = \sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{GM}}$$

Substituindo a expressão para $M$:

$$P = \sqrt{\frac{3\pi r^3}{\mu R^3}}$$

Intermediário (Solução por Victor Sales)

a)

De acordo com a figura, temos, adotando o eixo $x$ para a direita e o $y$ para cima:

$$\tau = r P_1 - r {P_2}_T = r g (M_1 - M_2 sin{\theta})$$

b)

$$L = r M_1 v + I \omega- r M_2 v = r v (M_1 - M_2) + I \omega$$

c)

$$\tau = \frac{dL}{dt} \Rightarrow r g (M_1 - M_2 sin{\theta}) = r a (M_1 - M_2) + I \alpha$$

Mas $\alpha = a/r$, então:

$$r g (M_1 - M_2 sin{\theta}) = r a (M_1 - M_2) + I \frac{a}{r}$$

$$g (M_1 - M_2 sin{\theta}) = a(\frac{I}{r^2} + M_1 - M_2)$$

$$a = \frac{M_1 - M_2 sin{\theta}}{\frac{I}{r^2} + M_1 - M_2} g$$

Avançado (Solução por Victor Sales)

No caso de vapor saturado, o número de partículas saindo da superfície é igual ao número de partículas que entram. No vácuo, a situação é a mesma.

Então, o número de moléculas de gás que chegam à superfície $S$, durantante um intervalo de tempo $\Delta t$ é dado por $N_1 = \frac12 n S \langle |v_x| \rangle \Delta t$, com $\langle |v_x| \rangle$ sendo a média do módulo da componente $x$ da velocidade e $n$ sendo a concentração de moléculas.

Para calcular $n$ basta utilizar a Equação de Clapeyron:

$$P V = N k_B T \Rightarrow n = \frac{P}{k_B T}$$

Onde $N$ é o número total de moléculas e $k_B$ é a constante de Boltzmann.

Podemos calcular $\langle |v_x| \rangle$ usando que $\langle |v_x| \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \langle |v| \rangle \approx \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\langle |v|^2 \rangle} = \sqrt{\frac34 \frac{RT}{\mu}}$. Onde $\mu$ é a massa molar do gás.

Como cada molécula possui massa $\frac{\mu}{N_A}$, a quantidade de massa por unidade de área e por unidade de tempo é:

$$\Phi = \frac{\Delta M}{S \Delta t} = \frac{\mu}{N_A} \frac{N_1}{S \Delta t} = \frac12 \frac{\mu P}{R T} \langle |v_x| \rangle = \frac14 P \sqrt{3 \frac{\mu}{R T}}$$

Usando que $\mu = 18 \frac{g}{mol}$ e os valores numéricos fornecidos, temos:

$$\Phi = 2.7 \frac{kg}{m^2 s}$$