Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)
Primeiramente, calculemos a massa de Marte
$$! M = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3 \cdot \mu $$
Agora, se igualarmos a força de atração gravitacional à resultante centripeta, descobriremos a velocidade de Phobos
$$! \frac{m \cdot v^2}{r} = \frac{M m }{r^2} G \Rightarrow v = \sqrt{\frac{MG}{r}}$$
Então basta notarmos que o período é o comprimento da órbita dividido pela velocidade e substituirmos os valores
$$! P = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{MG}{r}}} \Rightarrow P = \sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{GM}}$$
Substituindo a expressão para $$M$$:
$$!P = \sqrt{\frac{3\pi r^3}{\mu R^3}}$$
Intermediário (Solução por Victor Sales)
a)
De acordo com a figura, temos, adotando o eixo $$x$$ para a direita e o $$y$$ para cima:
$$!\tau = r P_1 – r {P_2}_T = r g (M_1 – M_2 sin{\theta})$$
b)
$$!L = r M_1 v + I \omega- r M_2 v = r v (M_1 – M_2) + I \omega$$
c)
$$!\tau = \frac{dL}{dt} \Rightarrow r g (M_1 – M_2 sin{\theta}) = r a (M_1 – M_2) + I \alpha$$
Mas $$\alpha = a/r$$, então:
$$!r g (M_1 – M_2 sin{\theta}) = r a (M_1 – M_2) + I \frac{a}{r}$$
$$!g (M_1 – M_2 sin{\theta}) = a(\frac{I}{r^2} + M_1 – M_2)$$
$$!a = \frac{M_1 – M_2 sin{\theta}}{\frac{I}{r^2} + M_1 – M_2} g$$
Avançado (Solução por Victor Sales)
No caso de vapor saturado, o número de partículas saindo da superfície é igual ao número de partículas que entram. No vácuo, a situação é a mesma.
Então, o número de moléculas de gás que chegam à superfície $$S$$, durantante um intervalo de tempo $$\Delta t$$ é dado por $$N_1 = \frac12 n S \langle |v_x| \rangle \Delta t$$, com $$\langle |v_x| \rangle$$ sendo a média do módulo da componente $$x$$ da velocidade e $$n$$ sendo a concentração de moléculas.
Para calcular $$n$$ basta utilizar a Equação de Clapeyron:
$$!P V = N k_B T \Rightarrow n = \frac{P}{k_B T}$$
Onde $$N$$ é o número total de moléculas e $$k_B$$ é a constante de Boltzmann.
Podemos calcular $$\langle |v_x| \rangle$$ usando que $$\langle |v_x| \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \langle |v| \rangle \approx \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\langle |v|^2 \rangle} = \sqrt{\frac34 \frac{RT}{\mu}}$$. Onde $$\mu$$ é a massa molar do gás.
Como cada molécula possui massa $$\frac{\mu}{N_A}$$, a quantidade de massa por unidade de área e por unidade de tempo é:
$$!\Phi = \frac{\Delta M}{S \Delta t} = \frac{\mu}{N_A} \frac{N_1}{S \Delta t} = \frac12 \frac{\mu P}{R T} \langle |v_x| \rangle = \frac14 P \sqrt{3 \frac{\mu}{R T}}$$
Usando que $$\mu = 18 \frac{g}{mol}$$ e os valores numéricos fornecidos, temos:
$$!\Phi = 2.7 \frac{kg}{m^2 s}$$
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