Matemática - Semana 1

Iniciante

Lucca escreve alguns números no quadro da escola. Na sequência de números temos

$1$     $A$     $2$    $B$    $C$    $D$    ...

Dizemos que o primeiro termo é $1$, o segundo termo é $A$, o terceiro termo é $2$, o quarto termo é $B$, e assim por diante. Sabe-se que esta sequência tem $2005$ termos e que cada termo, a partir do terceiro, é a média aritmética de todos os termos anteriores. Qual é o último termo dessa sequência? Obs: A média aritmética de $N$ números é a soma deles dividido por $N$.

Intermediário

Sejam $a$ e $b$ números reais distintos tais que $a^2=6b+5ab$ e $b^2=6a+5ab$.

a) Determine o valor de $a + b$.

b) Determine o valor de $ab$.

Avançado

Encontre todos os números $N$ de seis algarismos da forma $AAABBB$ ($A$ e $B$ são algarismos diferentes e não nulos) e de tal modo que $N+1$ seja um quadrado perfeito.