Iniciante
Lucca escreve alguns números no quadro da escola. Na sequência de números temos
$$1$$ $$A$$ $$2$$ $$B$$ $$C$$ $$D$$ …
Dizemos que o primeiro termo é $$1$$, o segundo termo é $$A$$, o terceiro termo é $$2$$, o quarto termo é $$B$$, e assim por diante. Sabe-se que esta sequência tem $$2005$$ termos e que cada termo, a partir do terceiro, é a média aritmética de todos os termos anteriores. Qual é o último termo dessa sequência? Obs: A média aritmética de $$N$$ números é a soma deles dividido por $$N$$.
Intermediário
Sejam $$a$$ e $$b$$ números reais distintos tais que $$a^2=6b+5ab$$ e $$b^2=6a+5ab$$.
a) Determine o valor de $$a + b$$.
b) Determine o valor de $$ab$$.
Avançado
Encontre todos os números $$N$$ de seis algarismos da forma $$AAABBB$$ ($$A$$ e $$B$$ são algarismos diferentes e não nulos) e de tal modo que $$N+1$$ seja um quadrado perfeito.
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