Problemas - Matemática - Semana 33

BÁSICO:

Prove que as expressões $2x+3y$ e $9x+5y$ são divisíveis por $17$ para os mesmos pares de valores dos inteiros $x$ e $y$.

 

INTERMEDIÁRIO:

Considere todos os subconjuntos não-vazios do conjunto ${1,2,...,n}$, dos $n$ primeiros números naturais. Para cada um desses subconjuntos calculamos o produto de seus elementos. Encontre a soma de todos os produtos obtidos. (Obs: Se um subconjunto tem um único elemento, esse elemento é o produto).

 

AVANÇADO

Sejam $a, b, c, d$ números reais não-negativos tais que sua soma é $4$. Prove que:

$\dfrac{1+ab}{1+(bc)^2}+\dfrac{1+bc}{1+(cd)^2}+\dfrac{1+cd}{1+(da)^2}+\dfrac{1+da}{1+(ab)^2}\ge 4$