Iniciante:
Situação Física: Temos aqui, para que não haja aceleração radial, ou seja, para que a trajetória tenha raio constante, que a força resultante neste sentido deve ser nula. As forças radias nesta situação são: resultante centrípeta e força elástica.
Resolução: Para a resultante centrípeta:
$$F_c=m\Omega^2R$$
E para a força elástica:
$$F_e=KR$$
Igualando as forças, temos:
$$F_c=F_e\rightarrow m\Omega^2R=KR$$
E por fim:
$$K=m\Omega$$
Intermediário:
Situação Física: Temos uma situação na qual quando a massa estiver no ponto mais baixo, a força peso e a resultante centrípeta estarão para baixo, contrapondo a elástica, e quando se localizar no topo de sua trjetória, peso e força elástica se oporão a resultante centrípeta. Como nos é dito que a velocidade é constante, não devemos olhar para conservação de energia neste caso, pois é como se algo injetasse e retirasse energia no sistema.
Resolução: Quando a massa está no ponto baixo:
$$F_p+R_c=F_e\rightarrow mg+m\frac{V^2}{R}=KR$$
Oque nos leva a:
$$KR^2-mgR-mV^2=0\rightarrow R=\frac{mg+\sqrt{m^2g^2+4KmV^2}}{2K}$$
E no ponto alto:
$$F_p+F_e=R_c\rightarrow mg+KR’=m\frac{V^2}{R’}$$
E deste modo:
$$KR’^2+mgR’-mV^2=0\rightarrow R’=\frac{-mg+\sqrt{m^2g^2+4KmV^2}}{2K}$$
Sendo:
$$\frac{R}{R’}=\frac{mg+\sqrt{m^2g^2+4KmV^2}}{\sqrt{m^2g^2+4KmV^2}-mg}$$
Avançado:
Situação Física: Para obtermos o centro de massa do sistema como um todo basta olharmos para os centros de suas “partes”. Quando o número de mols e a temperatura do gás mudam (à pressão constante) tanto sua massa quanto seu volume se alteram, movendo o pistão. Devemos lembrar que o centro de massa total e o momento (assim que parte do gás é liberado) se conservam.
Resolução: Conservando o momento na liberação do gás:
$$\frac{m}{2}V=(\frac{m}{2}+M)v\rightarrow v=\frac{mV}{m+2M}$$
E a aceleração que a freia o cilindro:
$$F_{at}=\mu(\frac{m}{2}+M)g\rightarrow a=\frac{F_{at}}{\frac{m}{2}+M}=g\mu$$
A distância percorrida até parar:
$$d=vt-\frac{at^2}{2}$$
E
$$v-at=0\rightarrow t=\frac{v}{a}$$
Deste modo:
$$d=\frac{V^2}{g\mu}-\frac{V^2}{2g\mu}=\frac{V^2}{2g\mu}$$
Novo centro de massa do cilindro após a saída do gás e ao aquecimento, em relação ao centro de massa do restante do gás:
$$\frac{m}{2}X=Mx$$
E
$$X+x=\frac{L’}{2}$$
Logo:
$$\frac{m}{2}X=M(\frac{L’}{2}-X)\rightarrow X=\frac{ML’}{m+2M}$$
Em relação a dita origem:
$$P_{cm}=d+X+\frac{L’}{2}=\frac{V^2}{2g\mu}+\frac{ML’}{m+2M}+\frac{L’}{2}$$
Onde $$L’$$ é devido ao novo centro de massa. Lembrando que como há uma força externa atuando, o cilindro não deslizará devido ao aquecimento:
$$L’A=V’$$
$$V’=\frac{n}{2}R5T$$
Sendo:
$$LA=V$$
$$V=nRT$$
Logo:
$$L’=\frac{5}{2}L$$
Substituindo:
$$P_{cm}=\frac{V^2}{2g\mu}+\frac{ML5L}{2(m+2M)}+\frac{5L}{4}$$
E para a posição do pistão:
$$P_p=d+L’-L$$
$$P_p=\frac{V^2}{2g\mu}+\frac{3}{2}L$$
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