Iniciante
Por semelhança de triângulos:
$$\frac{f}{T}=\frac{d}{D}$$
$$\Rightarrow D=2.31*10^{12}$$ $$m$$
Intermediário
Como dito pelo enunciado:
$$2He^{3}\rightarrow He^{4}+2H^{1}$$
Com isso:
$$\Delta m=2*3727.40-(2808.30+2*938.27)$$
$$\delta =\frac{\Delta m}{m_{o}} \Rightarrow \delta=0.59126$$
Daí:
$$L=\delta \frac{\Delta E}{\Delta T}\Rightarrow \Delta T=\frac{0.8M_{\odot}c^{2}}{0.25L_{\odot}}0.59126$$
$$\Delta T=2.78*10^{13}$$ $$anos$$
Avançado
Do teorema virial:
$$K=-\frac{U}{2}\Rightarrow \frac{Mv^{2}}{2}=-\frac{U}{2}\Rightarrow Mv^{2}=-U$$
Energia interna do aglomerado:
$$dU(r)=-\frac{GM(r)dM}{r}=-\frac{4\pi}{3}G\rho^{2} r^{4}dr \Rightarrow$$
$$\int dU=-G(\frac{4\pi}{3})^{2} 3\rho^{2}\int r^{4}dr$$
$$\therefore U=-(\frac{3}{5})\frac{GM^{2}}{R}$$
Com isso, temos:
$$v^{2}=(\frac{3}{5})\frac{GM}{R}$$
$$\Rightarrow v=8.10*10^{5}$$ $$m/s$$
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