Escrito por Paulo Henrique
Iniciante
Dois pontos no espaço se movem numa reta. O ponto $$A$$ se move com velocidade constante $$v$$, e o ponto $$B$$ com aceleração constante $$a$$. Sabendo que no tempo $$t=0s$$, o ponto $$B$$ está a uma distância $$L$$ de $$A$$, está momentaneamente em repouso e sempre se move com a aceleração $$a$$. Para que os dois pontos se encontrem a aceleração de $$B$$ não pode exceder um valor. Suponha que $$B$$ se mova com essa aceleração. Esse valor depende de $$v$$. Plote o gráfico da aceleração de $$B$$ em função de $$v$$. $$L$$ é mantido constante. Qual é essa curva? Determine seus parâmetros.
Intermediário
Parte A
Nessa primeira parte, vamos analisar o movimento de um projétil num campo gravitacional $$g$$ constante em algumas situações. O nosso objetivo principal, álém de revisar conceitos familiares de lançamentos, é determinar a velocidade mínima que um projétil deve ser lançado, a partir do polo norte de um hemisfério de raio $$R$$, de modo a conseguir abandonar o hemisfério sem colidir com o mesmo. Veja a figura abaixo:
É possível determinar essa velocidade $$v_0$$ de pelo menos duas formas, que serão tratadas aqui.
a) Primeiramente, determinemos essa velocidade usando o resultado de um problema auxiliar e façamos a extensão ao nosso problema. O problema auxiliar é o seguinte: Um projétil é lançado da base de um plano inclinado de inclinação $$\beta$$ com a horizontal. O projétil é lançado com velocidade $$v_0$$ e ângulo $$\alpha$$ com a horizontal.
A equação da trajetória (como origem no ponto de lançamento) é dado por
\[y={\lambda}_1x-\dfrac{g}{2{v_0}^2{\lambda}_2}x^2\]
Determine $${\lambda}_1$$ e $${\lambda}_2$$, ambos em função de $$\alpha$$.
b) Qual a equação do plano inclinado? Ou seja, qual expressão de $$y_p$$ em função de $$x_p$$? Onde $$y_p$$ e $$x_p$$ são coordenadas de um ponto genérico do plano.
c) O projétil atingirá o plano quando $$y=y_p$$ e $$x=x_p$$. Sendo assim, mostre que o alcance $$A$$ ao longo do plano é dado por
\[A=\dfrac{v_0^2}{g}\dfrac{2\sin({\lambda}_3-\beta)-\sin(\beta)}{\cos^2(\beta)}\]
Determine a constante $${\lambda}_3$$ em função de alpha.
d) Para uma velocidade fixa $$v_0$$, com que ângulo $$\alpha_0$$ o projétil deve ser lançado, de modo que $$A$$ seja máximo? Qual é esse alcance máximo?
e) Agora, o projétil é posto para galgar um muro de altura $$h$$ a uma distância $$d$$ do mesmo. Qual o ângulo de lançamento para que o projétil ultrapasse o muro com velocidade mínima? Mostre que essa velocidade é dada por
\[v_0=\sqrt{g\left(h+\sqrt{h^2+d^2}\right)}\]
f) Voltemos para nosso problema original. Podemos imaginar o hemisfério como sendo um conjunto infinito de muros com altura variável. Para que o projétil abandone o hemisfério, $$v_0$$ deve ser suficiente para galgar o muro mais “dificultoso”. Com o sistema de coordenadas abaixo, a relação entre a altura desses muros e sua posição horizontal, é dada aplicando pitágoras
\[d^2=R^2-(h+R)^2\]
Sendo assim, a velocidade mínima necessária para galgar um muro de altura $$h$$ é dado pela fórmula já encontrada (observe que nesse caso todas as alturas $$h$$ são negativas)
\[v_0^2=g\left(h+\sqrt{-2Rh}\right)\]
Ou seja, nosso problema inicial é reduzido a determinar qual a velocidade mínima para galgar um muro imaginário de altura $$h_0$$ tal que a função $$\epsilon(h)=h+\sqrt{-2Rh}$$ tenha seu valor máximo para $$h=h_0$$. Com todas essa informações em mãos, resolva o problema proposto. Expresse a velocidade mínima da seguinte forma
\[v_0={\lambda}_4\sqrt{Rg}\]
Determine o número $${\lambda}_4$$.
g) Outra forma de obter $$v_0$$ é utilizando os conceitos de parábola de segurança. A parábola de segurança é definida como sendo a envoltória de todas as parábolas possível para o lançamento de um projétil com velocidade inicial fixada $$v_0$$. As possível trajetórias (parábolas) são obtidas variando o ângulo de lançamento. Observe que com essa definição, a parábola de segurança define uma região, denominada zona de seguração, na qual o projétil está confinado, ou seja, não é possível atingir um ponto externo à parábola de segurança. Sabendo que a equação da parábola de segurança é da forma
\[y={\lambda}_5+{\lambda}_6x^2\]
Determine $${\lambda}_5$$ e $${\lambda}_6$$. Expresse suas respostas em função da velocidade de lançamento $$v_0$$ e da gravidade $$g$$.
i) Por definição, pelo menos um ponto da trajetória do projétil (independente do ângulo de lançamento) toca a parábola de segurança e no caso extremo, a trajetória tangencia a superfície do hemisfério em um ponto. Dado que, para a velocidade mínima a parábola de segurança também toca a esfera, determine $$v_0$$.
Parte B
Essa parte é independente da primeira. Aqui analisaremos o movimento de um sistema massa mola num referencial acelerado. Considere um sistema massa mola (massa $$m$$ e constante elástica $$k$$) dentro de um vagão se movendo inicialmente com velocidade $$v_0$$. Nesse estágio a mola está relaxada. Em $$t=0s$$, o vagão começa a desacelerar uniformemente. O valor da aceleração é $$a$$. O objetivo dessa parte é determinar a amplitude de oscilação do sistema massa mola após o vagão parar, adimitindo que o mesmo permaneça parado após desacelerar completamente.
a) Num sistema massa mola, seja $$x=A\cos({\Omega}t+\phi)$$ a posição do oscilador. Determine a energia total do sistema (elástica + cinética). Expresse sua resposta em função da amplitude $$A$$ e da constante elástica $$k$$.
b) Como no Parte A, resolveremos esse problema de duas formas. Nesse caso, as duas formas correspondem a dois referenciais distintos. A partir do momento que o vagão começa a desacelerar, o mesmo se torna um referencial não inercial. Sabemos que, se queremos analisar o movimento da massa nesse referencial, uma força $$-m\vec{a}$$ deve ser acrescida às forças usuais para obtermos a força resultante. Usando a posição inicial da massa (meio do vagão), determine a posição da massa em relação ao vagão em função do tempo. Ou seja, obtenha a distância da massa até o centro do vagão com função do tempo.
c) Determine a posição do centro do vagão em função do tempo. Essa é a distância do centro do vagão até a origem do sistema de coordenadas, ou seja, a posição inicial do centro do vagão.
d) Some adequadamente as respostas dos dois itens anteriores para obter a posição da massa em função do tempo. A origem está fixada no referencial do laborátorio.
e) (Avançado, pule se preferir) Obtenha a resposta do item anterior trabalhando somente no referencial do laboratório. Você deverá obter uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea. A solução particular é a mais óbvia possível, inclusive, já obtida no item anterior.
f) Determine a velocidade da massa, assim como a elongação da mola, no instante que o vagão para. Expresse sua resposta em função de todas as constantes fornecidas anteriormente.
g) Qual a amplitude do movimento? Observe que após o vagão parar, o mesmo é inercial e as leis de conservação funcionam normalmente.
Avançado
Parte A
Nesse problema, estudaremos o movimento de corpos rígidos e aprenderemos o conceito de centro instantâneo de rotação, usaremos também o método analítico na parte B para solução de problemas com vínculos. A parte C trata de um desafio independente.
Por definição, um corpo é rígido quando a distância entre as partículas que o compoe se mantêm constante durante todo o movimento. Essa, aparentemente simples, condição implica várias propriedades interessantes, uma delas é o conceito de centro instantâneo de rotação, a sigla é C.I.R. Como a distância entre dois quaisquer pontos ($$A$$ e $$B$$) é constante as velocidades dos pontos ao longo da linha que os une são iguais. Se não fosse, teríamos uma velocidade radial não nula, o que implicaria uma mudança na distância entre eles. Alternativamente, podemos imaginar a situação no referencial de um dos pontos.
a) Considere dois pontos $$A$$ e $$B$$ pertencentes ao mesmo corpo rígido $$\Sigma$$. Qual o tipo de movimento de $$A$$ visto por alguem acompanhando o ponto $$B$$? Ou seja, no referencial do ponto $$B$$.
b) A resposta do item a implica que o módulo da velocidade relativa de $$A$$ em relação à $$B$$ seja da forma
\[V_{AB}={\Omega}_{AB}r_{AB}\]
Onde $$\Omega_{AB}$$ é a velocidade angular de $$A$$ em relação à $$B$$ e $$r_{AB}$$ é o módulo do vetor posição de $$A$$ em relação à $$B$$, ou seja:
\[r_{AB}\equiv{|\vec{r}_A-\vec{r}_B|}=|\vec{R}_{AB}|\]
Podemos escrever a velocidade relativa em notação vetorial, notando que essa velocidade é perpendicular ao vetor posição $$\vec{R_{AB}}$$. Mostre, usando argumentos simples, que
\[\vec{V}_A=\vec{V}_B+\vec{{\Omega}}_{AB}\times{\vec{R}_{AB}}\]
c) Outro fato interessante é que para quaisquer pares de pontos $$AB$$ e $$CD$$, pertencentes à $$\Sigma$$ ,temos
\[\vec{\Omega}_{AB}=\vec{\Omega}_{CD}\]
(Opcional) Mostre que a equação acima é válida.
d) Em geral, a relação das velocidades entre dois pontos de $$\Sigma$$ pode ser utilizada pra deduzir qualquer vínculo entre acelerações. Com o conjunto de fatos acima, chegamos numa definição matemática para o C.I.R. Ele é definido como o ponto do espaço $$A$$, tal que $$\vec{V}_A=0$$. Observe que esse ponto não precisa pertencer a $$\Sigma$$. Consequentemente, a distância entre o C.I.R. e qualquer ponto do corpo pode mudar. Com essa definição, a velocidade instântanea de qualquer ponto de $$\Sigma$$ pode ser obtida por um único produto vetorial. Para isso, devemos conhecer a velocidade angular do corpo e a posição instantânea do C.I.R. Alternativamente, se temos a velocidade de dois pontos do corpo rígido, podemos obter a posição de C.I.R e a velocidade angular do corpo. Observe que a velocidade de qualquer ponto é perpendicular ao seu vetor posição em relação ao C.I.R, portanto, a interseção de duas perpendiculares às velocidades de dois pontos do corpo rídigido em questão é o C.I.R. O módulo das velocidades é simplesmente $${\Omega}R$$, onde a distância pode ser obtida geometricamente.
Considere uma escada deslizando sem atrito numa quina de parede. A velocidade da ponta da escada apoiada no chão é $$V$$ e o ângulo que a escada faz com a vertical é $$\beta$$. Localize o C.I.R, determine a velocidade da ponta da escada apoiada na parede e mostre que a velocidade angular é dada por
\[\Omega=\dfrac{V}{L\sin(\beta)}\]
Onde $$L$$ é o comprimento da escada.
e) Para o problema anterior, faça um desenho evidenciando o movimento do C.I.R durante o movimento de queda da barra. Qual o parâmetro(s) da curva?
Parte B
a) Nessa parte, faremos uma breve análise do movimento do sistema abaixo.
No sistema acima, duas barras de comprimento $$2l$$ são conectadas por um pivot de tal forma que as barras podem girar livremente sem atrito. A ponta da barra mais afastada se move com velocidade constante $$v$$ vertical. Seja $$O$$ o ponto de junção das barras. Para um sistema cartesiano com origem na interseção da barra mais proxima à parede e a parede, determine as coordenadas do ponto $$O$$. Expresse sua resposta em função do ângulo $$\gamma$$ que a barra mais próxima à parede faz com a horizontal.
b) Faça um diagrama evidenciando a contrução geométrica para a localização do C.I.R. da barra mais afastada. Quais são suas coordenadas?
Expresse suas respostas em função de $$\gamma$$, $$l$$, $$v$$ e $$v_O$$, a velocidade de $$O$$.
c) Escreva a coordenada horizontal do C.I.R em função de $$\gamma$$ e a taxa de variação de $$\gamma$$.
d) Qual a velocidade vertical do C.I.R.?
e) Mostre que a taxa de variação de $$\gamma$$ é dada por
\[\dot{{\gamma}}=\dfrac{v}{lf(\gamma)}\]
Onde
\[f(\gamma)=2\cos(\gamma)-\dfrac{\left(2\cos(\gamma)-1\right)\sin(\gamma)-\left(5-2\cos(\gamma)\right)\sin(\gamma)}{\sqrt{\left(5-2\cos(\gamma)\right)\left(2\cos(\gamma)-1\right)}}\]
f) Determine a aceleração do ponto $$O$$ quando a barra mais próxima à parede está na horizontal.
Parte C
A figura abaixo mostra a imagem de um triângulo retângulo gerada por uma lente convergente. O ponto marcado representa a imagem do ângulo reto e a linha pontilhada é o eixo óptico da lente. Construa a posição do vértice do ângulo reto do objeto usando régua e compasso.
