INICIANTE:
De 
um ponto num círculo, traçamos uma corda 
(arco 
maior que 
) e uma tangente 
. A linha q passa pelo centro do círculo perpendicular a 
, intersecta em 
e em 
. Mostre que 
.
INTERMEDIÁRIO:
Sendo $$a,b,c$$ lados de um triângulo, mostre que:
$$\sum_{cyc} \frac{(a^2 + b^2)(a + c)}{b} \ge 2(a^2 + b^2 + c^2)$$
AVANÇADO:
Seja $$P(x) = a_nx^n +… +a_2x^2 +a_0$$ um polinômio de coeficientes inteiros e grau $$d \geq2$$. Considere a sequência definida por: $$b_0=0, b_n = P(b_{n-1})$$ para $$n\geq1$$ . Para todo $$n\geq2$$, prove que existe um primo $$p$$ tal que $$p$$ divide $$b_n$$ mas não divide $$b_1…b_{n-1}$$.