INICIANTE
Sabemos que o tempo sideral local (TSL) será:
$$TSL = \alpha+H = 17h17min+13h47min \implies TSL=07h04min$$
Para o Sol, temos algo analogo. Como a sombra é mínima, o Sol está culminando, logo seu ângulo horário é $$0^o$$, então:
$$TSL=\alpha_{\odot}+H_{\odot} \implies \alpha_{\odot}=07h04min$$
Agora, utilizando a ascensão reta do Sol sabemos que ele se localiza na constelação de Gêmeos.
INTERMEDIÁRIO
Primeiramente, precisamos encontrar a data em que ocorre a observação. Chamaremos de $$\lambda_{\odot}$$ a longitude eclíptica do Sol e de $$\epsilon$$ a inclinação do plano da eclíptica com o plano do equador celeste ($$\epsilon=23,5^o$$) Utilizando o triângulo esférico da figura abaixo, encontramos pela fórmula da cotangente:
$$cos\epsilon . cos y = sen y .cot x – sen \epsilon . cot 90^o$$
$$x = 75,3 ^o \implies \lambda_{\odot}=104,7 ^o$$
Assumindo que o movimento do Sol sob a ecliptica tem velocidade constante, encontramos o número d de dias desde o momento em que o Sol tem ascensão reta nula (21/3).
$$\frac{\lambda_{\odot}}{360^o}=\frac{d}{365,25 dias} \implies d= 106 dias$$
Assim, a data da observação é 05/07.
Seja TSVL o tempo solar verdadeiro local, TSML o tempo solar médio local, TSMF o tempo solar médio do fuso e E a equação do tempo para esta data. Temos pelo gráfico que a equação do tempo vale para este dia cerca de -4 minutos, assim podemos encontrar o TSMF da seguinte forma:
$$E=TSVL-TSML \implies TSML=TSVL-4min=H_{\odot}+12h-4min$$
$$TSML=11h56min$$
Para fazer a correção para a hora civil, devemos utilizar a correção de longitude para o centro do fuso, que é igual ao TSMF. Seja $$\Delta\lambda$$ a diferença entre a longitude de Rockledge e a longitude do fuso, temos:
$$TSMF=TSML+\Delta\lambda \implies TSMF=12h19min$$
Por fim, devemos levar em conta o fuso horário, adicionando uma hora ao valor encontrado, descobrindo então que o horário da observação foi 13h19min.
AVANÇADO
Primeiramente, vamos descobrir as coordenadas equatoriais de Deneb a partir dos dados fornecidos por Shoji. Para isso, vamos utilizar o triângulo esférico formado pelo polo celeste norte, o zênite de seu local de observação e a estrela Deneb (triângulo 1 da figura abaixo):
$$sen\delta=sen h.sen\phi+cos h. cos\phi. cos (360^o-A)$$
$$\delta= 44,76 ^o$$
$$cos\phi.cos\delta.cos H= cos h-sen\phi.sen\delta$$
$$H=13^o 00’$$
Agora, pelo tempo sideral local, encontramos a ascensão reta $$\alpha$$ de Deneb:
$$TSL=H+\alpha \implies \alpha=21h35min-52min = 20h43min$$
Agora, podemos voltar para Rockledge. Chamaremos todas as variáveis em Rockledge como $$X_R$$.
Para descobrir o tempo sideral local em que a altura será de 26$$^o$$, utilizaremos novamente o tempo sideral local. Para tal, precisamos encontrar o ângulo horário no triângulo 1 da figura acima, desta vez utilizando as coordenadas de Rockledge:
$$cos H.cos\phi.cos\delta=cos h-sen\phi.sen\delta$$
$$H_R=25,38^o$$
$$TSL_R=H_R+\alpha=1h42min+20h43min=22h25min$$
Por fim, para descobrir se Shoji consegue visualizar Alkaid, vamos achar a distância angular d entre Deneb e Alkaid a partir do triângulo 2 da figura acima.
$$cos d=sen\delta_A.sen\delta_D+cos\delta_A.cos\delta_D.cos\Delta\alpha$$
$$d= 65,04^o$$
Agora basta notar que qualquer ponto no céu com distância menor ou igual à altura de Deneb estará no céu. Como d$$<$$h, então Alkaid está no céu de Shoji.