INICIANTE
Seja L a luminosidade do Sol, $$d_P$$ a distância do Sol ao periélio, $$d_A$$ a distância do Sol ao afélio, a o semieixo maior da órbita e e a excentricidade, temos:
$$\Delta m=-2,5log(\frac{L}{4\pi d_A^2}\frac{4\pi d_P^2}{L})$$
$$\Delta m=-2,5log(\frac{a^2(1-e)^2}{a^2(1+e)^2})$$
$$-0,2=log(\frac{1-e}{1+e})$$
$$e=0,23$$
INTERMEDIÁRIO
a) Podemos utilizar do fato que quando a atração gravitacional era desprezível (energia potencial gravitacional nula), a velocidade da nave em relação à P10 era de $$v_{0}=30km/s$$ e analisar a energia total da órbita $$E$$:
$$E=U_{pot}+K=0 + \frac{m v_{0}^2}{2}$$
Como a massa da nave $$m>0$$ e o termo quadrático é necessariamente positivo, concluímos que a energia total da órbita é positiva, logo a órbita se trata de uma hipérbole (tome cuidado pois energia total de uma parábola é nula)
b) Como a energia total de uma órbita hiperbólica é $$E=+\frac{GMm}{2a}$$, onde $$M$$ é a massa do corpo mais massivo (estamos assumindo $$M>>m$$), temos:
$$E=\frac{GMm}{2a}=\frac{m v_{0}^2}{2} \Rightarrow a=\frac{GM}{v_{0}^2}$$
Como $$M=M_{Sol}$$ e $$v_{0}=30,0km/s$$:
$$a=0,983UA$$
Pela geometria da hipérbole (ver figura), a distância de máxima aproximação $$d=OA$$ é tal que $$d=c-a$$, logo:
$$c=d+a=1,18UA$$ (a resposta final deve ter 3 algarismos significativos, por isso devemos aproximar 1,183 para 1,18, mas podemos utilizar o valor mais preciso (1,183) para proceder com os cálculos)
c)
Representando a situação:
Onde, pela geometria da hipérbole:
$$OA=a$$ e $$OF=c$$
Estamos tratando de uma situação semelhante à da paralaxe vista da Terra, porém com uma órbita hiperbólica ao invés de elíptica! Logo essa paralaxe alternativa tem como propriedade $$tg(\frac{\theta}{2})=\frac{H}{D}$$, onde $$D$$ é a distância que queremos encontrar. O primeiro passo é encontrar $$H$$.
A forma polar da hipérbole é (dê uma olhada aqui):
$$r(\alpha)=\frac{a(e^2-1)}{1-ecos\alpha}$$, onde $$e=\frac{c}{a}=1,20$$
Logo para $$r=c=1,183UA$$, temos:
$$\alpha=cos^{-1}\frac{e-e^2+1}{e^2}=58,6^{\circ}$$
Temos então:
$$sen\alpha=\frac{H}{c} \Leftrightarrow H=1,01UA$$
Logo, para $$\theta=0,05″=2,424 \cdot 10^{-7}rad$$ e $$tan\frac{\theta}{2} \approx \frac{\theta}{2}$$
$$D=\frac{H}{\frac{\theta}{2}} = 40,4pc$$
AVANÇADO
Primeiramente devemos calcular o diâmetro do telescópio a partir da razão focal
$$ \dfrac {f}{D}=10$$
como $$f = 3.00m$$, temos que
$$ D=300mm$$
agora devemos calcular a magnitude limite do telescópio a partir da comparação com o olho humano:
$$ m_{olho}-m_{telescopio} = -5 log\left(\dfrac{D_{telescopio}}{D_{olho}}\right)$$
Substituindo $$ m_{olho}$$ , $$D_{telescopio}$$ e $$D_{olho}$$ temos que:
$$m_{telescopio} = 14.49$$
agora devemos calcular a profundidade óptica:
$$\tau=\pi r_p^2\cdot \eta\cdot d$$
substituindo
$$\tau=\pi (10^{-6})^2\cdot 2.37\cdot 10^{-6}\cdot d$$
$$\tau=7.45\cdot 10^{-27}\cdot d$$ $$m^{-1}=2.30\cdot d$$ $$pc^{-1}$$
a partir disso podemos comparar uma estrela com magnitude 14.49 nessa situação com a magnitude absoluta do Sol
$$ m_{telescopio}-M_{Sol} = -2.5log\left(\dfrac{F_{d}\cdot e^{-\tau}}{F_{10}}\right) $$
$$9.77 = 2.5\tau log(e)+5log\left(\dfrac{d}{10}\right)$$
$$14.77 \approx 2.5d + 5logd$$
Iterando:
$$d=4.59pc$$
como a distribuição de estrelas é isotrópica podemos dizer que a razão entre os volumes que eles conseguem observar estrelas é igual a razão de estrelas observadas.
Para calcular isso primeiro temos que lembrar que devido ao FOV de $$1^{\circ}$$ os telescópios na verdade conseguem ver objetos com distância zenital de até
$$z = 23.5^{\circ} + \dfrac{1^{\circ}}{2}$$
Agora devemos calcular os volumes (exitem diversas formas de calcular esses volumes, eu escolhi usar o volume de cones esféricos mas sinta-se livre para usar qualquer uma das outras formas).
Para o caso do equador o volume vai ser
$$V_{observado 0^{\circ}} = 2\cdot( V_{hemisferio}-(V_{cone1}+V_{calota1}))$$
como se pode ver nas imagens $$\theta = 90^{\circ}-24^{\circ}$$,portanto
$$V_{oservado 0^{\circ}} = 2\cdot \left(\dfrac{2}{3}\cdot\pi\cdot d^3 -\left(\dfrac{\pi}{3}\cdot d^3 \cdot cos(66^{\circ})\cdot sen(66^{\circ})+\dfrac{\pi}{3}\cdot d^3\cdot(2+cos66^{\circ})(1-cos66^{\circ})^2\right )\right )$$
Substituindo d temos que
$$V_{observado 0^{\circ}}=158.2pc^3$$
Devido a precessão dos equinócios o caso do equador o volume vai ser um cone esférico com $$\theta = 2\cdot 24^{\circ}$$
portanto
$$V_{observado 90^{\circ}} = V_{cone2}+V_{calota2}$$
$$V_{observado 90^{\circ}} =\dfrac{\pi}{3}\cdot d^3 \cdot cos(48^{\circ})\cdot sen(48^{\circ})+\dfrac{\pi}{3}\cdot d^3\cdot(2+cos48^{\circ})(1-cos48^{\circ})^2$$
Substituindo d temos que
$$V_{observado 90^{\circ}}=79.9pc^3$$
logo
$$\dfrac {V_{observado 90^{\circ}}}{V_{observado 0^{\circ}}} = \dfrac{158.2}{79.9}=1.98$$