Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)
Vamos adotar um sistema cartesiano “torto”, onde o eixo x coincide com o plano inclinado e a origem é onde o corpo está antes de ser arremessado.
Assim, as equações para x e y são:
$$!x = v_{0}\cos(\theta – \alpha)t – \frac{gt^2}{2}\sin(\alpha)$$
$$!y = v_{0}\sin(\theta – \alpha)t – \frac{gt^2}{2}\cos(\alpha)$$
Vemos que $$y = 0 \Leftrightarrow t = 0$$ ou $$t = \frac{2v_{0}\sin(\theta – \alpha)}{g\cos(\alpha)}$$
Substituindo em x:
$$! R = \frac{2v_{0}^2\sin(\theta – \alpha)}{g\cos^2(\alpha)}(\cos(\theta – \alpha)\cos(\alpha) – \sin(\theta – \alpha)\sin(\alpha)) =\frac{2v_{0}^2\sin(\theta – \alpha)}{g\cos^2(\alpha)}cos(\theta) $$
Intermediário (Solução por Victor Sales)
$$i)$$ Para nossa análise, podemos dizer que o carro da empresa sai de um ponto G ao mesmo tempo que o cientista pega o trem. Ou seja, se o trem leva um tempo $${\Delta t}_1$$ para ir deixar o Succa na casa de Sictor, a distância da casa deste até o ponto G será $$V_c {\Delta t}_1$$, como na figura, onde $$V_c$$ é a velocidade da limousine.
Na figura, $$V_T$$ é a velocidade média do trem.
$$ii)$$ Chame de $$T = {\Delta t}_1 + {\Delta t}_2$$ o tempo que Succa leva para fazer toda a sua viagem, em um dia normal, e $$T’$$ o tempo no dia em que levantou mais cedo.
$$iii)$$ Denotemos com uma linha os tempos relativos ao dia em que levantou mais cedo. Temos então: $${{\Delta t}_1}’ = {\Delta t}_1 – {\Delta t}_0$$, onde $${\Delta t}_0$$ é quanto tempo ele pegou o trem mais cedo.
$$iv)$$ Sendo $$S_c$$ o espaço percorrido pelo carro desde G, e $$x_c$$ a posição do carro, considerando a casa de Sictor como o ponto onde $$x = 0$$, temos:
$$!{S_c}_1 = V_c {{\Delta t}_1}’ \Rightarrow {x_c}_1 = x_G – {S_c}_1$$
$$!\Rightarrow {x_c}_1 = V_c ({\Delta t}_1 – {{\Delta t}_1}’) \Rightarrow {x_c}_1 = V_c {\Delta t}_0$$
$$v)$$Sendo $$V$$ a velocidade de caminhada dos cientistas, temos que o tempo para se encontrarem com a limousine, $${{\Delta t}_2}’$$ é dado por (lembrando que se encontram na posição $$0$$):
$$!(V_c + V) {{\Delta t}_2}’ = {x_c}_1 \Rightarrow {{\Delta t}_2}’ = \frac{V_c}{V_c + V} {\Delta t}_0$$
$$vi)$$Ao se encontrarem, a posição do carro será:
$$!{x_c}_2 = {x_c}_1 – V_c {{\Delta t}_2}’ = V_c ({\Delta t}_0 – {{\Delta t}_2}’)$$
$$!\Rightarrow {x_c}_2 = \frac{V_c V}{V_c + V} {\Delta t}_0$$
$$vii)$$O Tempo para chegar ao Noic, $${{\Delta t}_3}’$$, é dado por:
$$!V_c {{\Delta t}_3}’ = x_{Noic} – {x_c}_2 \Rightarrow {{\Delta t}_3}’ = {\Delta t}_2 – \frac{V}{V_c + V}{\Delta t}_0$$
$$Viii)$$ $$T’ = {{\Delta t}_1}’ + {{\Delta t}_2}’ + {{\Delta t}_3}’$$
$$!\Rightarrow T’ = {\Delta t}_1 – {\Delta t}_0 + \frac{V_c}{V_c + V}{\Delta t}_0 + {\Delta t}_2 – \frac{V}{V_c + V}{\Delta t}_0$$
$$!\Rightarrow T’ = T – (1- \frac{V_c – V}{V_c + V}){\Delta t}_0 \Rightarrow T – T’ = \frac{2 V}{V_c + V}{\Delta t}_0$$
$$!\Rightarrow \Delta T = \frac{2}{\eta + 1}{\Delta t}_0$$
Substituindo $$\eta = 11$$ e $${\Delta t}_0 = 1 h$$, temos:
$$!\Delta T = \frac{2}{12} h = \frac16 h = 10 min$$
Avançado (Solução por Victor Sales)
$$i)$$ Pela conservação do momento, $$V_{\alpha} = V_{n} = V$$
$$ii)$$ Pela conservação da energia:
$$!E_0 = E_f \Rightarrow 0 = E_{\alpha} + E_n – E \Rightarrow E_{\alpha} + E_n = E$$
$$iii)$$ $$E_{He} = \gamma m_{\alpha} c^2$$ e $$E_n = \gamma m_{n} c^2$$, onde $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – (\frac{v}{c})^2}}$$
$$iv)$$ Assumindo que $$m_p = m_n = m$$, temos que $$E_{\alpha} = 4 m \gamma c^2$$ e $$E_n = m \gamma c^2$$
Substituindo em $$(ii)$$:
$$!5m \gamma c^2 = E \Rightarrow \gamma c^2 = \frac{E}{5 m}$$
Ou seja:
$$!E_{\alpha} = \frac45 E$$
$$!E_n = \frac15 E$$
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