Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)
Assim que a bola é lançada existem duas forças agindo nela, o empuxo da água e a gravidade. Assim, usando $$F = ma$$:
$$!a = Vg\rho/m – Vg\sigma/m = Vg(\rho – \sigma)/m, \quad \text{onde definimos} \quad \sigma = \frac{m}{V}$$
Temos então dois casos:
Se $$v$$ é grande o bastante para que a bola saia da água, teremos que dividir em dois momentos. Até a bola sair da água,usando o teorema da energia cinética:
$$!\frac{mv^2}{2} – \frac{mv_0^2}{2} = Vg(\rho – \sigma)\cdot H$$
Agora usamos o mesmo teorema, porém não existe expuxo:
$$!\frac{mv_0(\cos\alpha)^2}{2} – \frac{mv^2}{2} = – mg\cdot y \Rightarrow g\cdot y = \frac{v_0(\sin\alpha)^2}{2} -\frac{g(\sigma – \rho)\cdot H}{\sigma} \Rightarrow$$
$$! y = \frac{v_0(\sin\alpha)^2}{2g} -\frac{(\sigma – \rho)\cdot H}{\sigma}$$
O outro caso é mais simples, basta usar conservação somente uma vez:
$$!\frac{mv_0(\cos\alpha)^2}{2} – \frac{mv_0^2}{2} = Vg(\rho – \sigma)\cdot y$$
E disso conseguimos a altura máxima.
$$!y = \frac{v_0(\sin\alpha)^2\rho}{2g(\sigma – \rho)}$$
Intermediário (Solução por Victor Sales)
$$i)$$ No referencial da partícula B, temos:
$$!v – u cos{\theta} = – \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$$
$$!\Rightarrow v T – u \int_0^T \! cos{\theta} \, \mathrm{d}t = – \int_L^0 \! \mathrm{d}s = L$$
$$ii)$$ Para achar a integral que precisamos, usaremos que a distância horizontal percorrida pelas duas partículas é a mesma. Ou seja:
$$!\int_0^T \! v cos{\theta} \, \mathrm{d}t = \int_0^T \! u \, \mathrm{d}t$$
$$!\Rightarrow v \int_0^T \! cos{\theta} \, \mathrm{d}t = u T$$
$$!\Rightarrow \int_0^T \! cos{\theta} \, \mathrm{d}t = \frac{u T}{v}$$
Substituindo $$(ii)$$ em $$(i)$$:
$$!v T – \frac{u^2 T}{v} = L \Rightarrow T = \frac{v L}{v^2 – u^2}$$
Avançado (Solução por Victor Sales)
Podemos aplicar a lei de Snell para cada uma das camadas, iniciando pela inicial, ou seja:
$$!n_0 sin{\theta_0} = n_1 sin{\theta_1} = n_2 sin{\theta_2} = … = n_N sin{{\theta}_N}$$
$$!\Rightarrow n_0 sin{{\theta}_0} = n_N sin{{\theta}_N} = (0.99)^N n_0 sin{{\theta}_N}$$
Para que ocorra a reflexão total, devemos ter $$sin{{\theta}_N} = 1$$. Logo:
$$!N = \frac{ln{sin{{\theta}_0}}}{ln0.99}$$
$$!\Rightarrow \epsilon = Nd = \frac{ln{sin{{\theta}_0}}}{ln0.99} d$$
Onde $$\epsilon$$ é a espessura da camada de ar.
Deixe um comentário