INICIANTE
Primeiramente, podemos encontrar o comprimento de onda do pico de emissão ($$\lambda_e$$) pela Lei de Wien:
$$\lambda_eT=b$$
$$\lambda_e=362nm$$
Agora, utilizamos o Efeito Doppler para encontrar o comprimento de onda percebido. Como a velocidade é muito alta, precisamos utilizar o Efeito Doppler relaivístico:
$$z=\frac{\lambda_m-\lambda_e}{\lambda_e}=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}-1$$
$$\lambda_m=387nm$$
$$f_m=\frac{c}{\lambda_m}=7,75 \times 10^{14}Hz$$
Assim, a cor percebida é azul, pois o comprimento de onda corresponde ao ultravioleta.
INTERMEDIÁRIO
Primeiramente, precisamos calcular a distância focal da objetiva, $$F_{ob}$$. Ela é formada por duas lentes justapostas, que possuem vergências $$C_1$$ e $$C_2$$, logo F é dado por:
$$\frac{1}{F_{ob}}=C=C_1+C_2=\frac{1}{F_1}+\frac{1}{F_2}$$, pois a vergência de duas lentes justapostas é a soma das vergências individuais
Agora, precisamos calcular as distâncias focais individuais $$F_1$$ e $$F_2$$. Para isso, a utilização da fórmula dos fabricantes de lente é necessária. Logo:
$$\frac{1}{F_1}=(n_1-1)(\frac{1}{2R} – \frac{1}{R})$$
$$\frac{1}{F_2}=(n_2-1)(\frac{1}{R} + \frac{1}{R})$$
Lembre-se de tomar cuidado com os sinais!
Rearranjando as 3 equações que nos dão $$F_{ob}$$, obtemos:
$$F_{ob}=\frac{2R}{4n_2-n_1-3}$$
Pelo estudo de telescópios refratores Keplerianos (aula do Curso Noic), sabemos que o comprimento $$L$$ desse tipo de telescópio é:
$$L=F_{ob}+F_{oc}$$, onde o segundo termo corresponde à distância focal da ocular, que pode ser encontrada à partir do aumento $$A$$:
Por definição:
$$A=\frac{F_{ob}}{F_{oc}}=5 \Rightarrow F_{oc}=\frac{F_{ob}}{5}$$
Logo:
$$L=\frac{6}{5}F_{ob}=\frac{12R}{20n_2 – 5(n_1+3)}$$
AVANÇADO
a)
Os raios que viajam mais perto do corpo gravitacional se dobrarão mais. Assim, obtemos o ponto de convergência mais próximo que será onde os raios tangentes a superície do sol se encontram
$$\theta_b=\dfrac{2R_{sch}}{R_{Sol}} \approx \dfrac{R_{Sol}}{f_{min}}$$
$$\therefore f_{min}=\dfrac{R_{Sol}^2}{2R_{sch}}=\dfrac{R_{Sol}^2c^2}{4GM_{Sol}}$$
$$ f_{min}=547.3U.A.$$
b)
$$f_2 =\dfrac{(R_{Sol}+h)^2}{2R_sch}$$
Usando o mesmo argumento do item a
para angulos pequenos,
$$a=(f_2-f_{min}) \theta_2$$
$$=\left[\dfrac{(R_{Sol}+h)^2}{2R_{sch}} – \dfrac{R_{Sol}^2}{2R_{sch}} \right] \dfrac {2R_{sch}}{(R_{Sol}+h)}=\dfrac{2R_{Sol}h+h^2}{(R_{Sol}+h)}$$
$$\approx 2h$$
Sendo a intensidade original $$I_0$$
O fluxo no detector na presnça do Sol $$\phi_{Sol}=I_0 2\pi R_{Sol} h$$
O fluxo no detector na ausencia do Sol $$\phi_0=I_0 \pi a^2$$
Portanto a ampliação será
$$A_m=\dfrac{\phi_{Sol}}{\phi_0}=\dfrac{I_0 2\pi R_{Sol} h}{I_0 \pi a^2}=\dfrac{R_{Sol}}{a}$$
c)
$$f_i=\dfrac{r_i}{2r_{sch}}=\dfrac{r_i^2 c^2}{4GM(r_i)}$$
Usando o mesmo argumento do item a
como é nescessário que $$f_1=f_2$$
$$\dfrac{r_1^2}{r_2^2}=\dfrac{M(r_1)}{M(r_2)}$$
Portanto a distribuição de mass ideal é $$M(r)\propto r^2$$