Problemas Semana 12 (Semana da Potencia de Ponto)

Problema Iniciante

Seja $$C_1$$ uma circunferência e  $$P$$ um ponto no plano dessa circunferência:

1. Se $$P$$ entá dentro da circunferência e uma reta que passa por $$P$$ a toca em dois pontos $$A$$ e $$B$$, prove que $$PA\cdot PB=R^2- PO^2$$ onde $$R$$ e $$O$$ são, respectivamente, o raio e o centro de $$C_1$$.
2. Se $$P$$ entá fora da circunferência e uma reta que passa por $$P$$ a toca em dois pontos $$A$$ e $$B$$, prove que $$PA\cdot PB=PO^2-R^2$$ onde $$R$$ e $$O$$ são, respectivamente, o raio e o centro de $$C_1$$.

Observe que em particular esse teorema nos garante que se tivermos duas retas que passam por $$P$$ e que tocam $$C_1$$ nos pares de pontos {$$A,B$$} e {$$C,D$$} poderemos concluir que $$PA\cdot PB=PC\cdot PD$$ pois tal produto é fixado pela circunferência e pela posição de $$P$$ relativa a ela.

 

 

Problema Intermediário

Dadas duas circunferências $$C_1$$ e $$C_2$$, prove a existência do eixo radical: prove que o lugar geométrico (o conjunto dos pontos que satisfazem a condição a seguir) dos pontos que tem a mesma potência de ponto relativa a $$C_1$$ e a $$C_2$$ é uma reta que é perpendicular à reta que liga os centros das duas circunferências dadas.

OBS: A potência de ponto de um ponto $$P$$ relativa a uma circunferência de centro $$O$$ e raio $$R$$ é definida como $$PO^2-R^2$$.

No problema iniciante aprendemos uma importante propriedade sobre a potência de ponto.

 

Problema Avançado

Sejam dadas 3 circunferências $$C_1,C_2$$ e $$C_3$$. Prove que os eixos radicais dos pares de circuferências {$$C_1,C_2$$},{$$C_2,C_3$$} e {$$C_3,C_1$$} são concorrentes em um único ponto.