Problema Iniciante
Sejam $$a,b,c$$ três números inteiros positivos. Prove que é impossível termos $$a^2+b+c,b^2+c+a$$ e $$c^2+a+b$$ iguais a quadrados perfeitos ao mesmo tempo.
Problema Intermediário
Um aluno tem, escrito em um quadro, os números inteiros de $$1$$ a $$n$$. Ele pode fazer a seguinte operação quantas vezes quiser: pegar dois números escritos no quadro $$a$$ e $$b$$, apagá-los e escrever no quadro o $$mdc$$ e o $$mmc$$ desses números. Prove que, não importando como o aluno faça suas operações, a qualquer momento a soma dos números escritos no quadro sempre será maior do que $$n\times (n!)^{\frac{1}{n}}$$
Dica: Esse problema parece mais difícil do que realmente é.
Problema Avançado
Sejam $$x,y$$ e $$z$$ números reais positivos. Prove que $$x^2+xy^2+xyz^2\ge 4xyz-4$$
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