(INICIANTE)
a) A figura a seguir representa a situação limite em que a luz solar começa a chegar ao fundo do balde.
Tomando o centro do Sol como o ponto em que sua altura é medida, a maior distância zenital para a situação ocorrer é $$z_{max} = \theta + D/2$$.
O ângulo $$\theta$$ descrito na imagem é o maior ângulo para o qual os raios (paralelos) do Sol conseguem atingir o fundo do balde sem serem bloqueados pela sua parede, e tem o valor de $$\theta = \arctan (\frac{D}{h})=30^{\circ} 58’$$. Assim, a altura mínima para a situação ocorrer deve ser de: $$a_{min} = 90 – z_{max} = 59^{\circ} 47’$$.
b) Durante o equinócio, o Sol se encontra sobre o equador celeste, e então vale a relação: $$\cos(z_{max})=\cos(\phi) \cos(H)$$, o que implica em um ângulo horário de $$H = 1h37m$$. Então, o tempo que o baldinho terá seu fundo iluminado é de $$2H = 3h15m$$.
(INTERMEDIÁRIO)
a) A energia luminosa que a vela recebe por unidade de tempo, vale
$$\dfrac{\Delta E}{\Delta t}=f\cdot A=\dfrac{L}{4\pi r^2}\cdot A$$
Sabe-se também que a energia de um fóton obedece a relação $$E=c\cdot p_f$$.
Finalmente, utilizando a definição de força $$F=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$$, é possível estabelecer que
$$\vec{F}=\dfrac{E/c-(-E/c)}{\Delta t}A \hat{r}=\dfrac{2A}{c}\dfrac{L_{Sol}}{4\pi r^2} \hat{r}$$
O fator de 2 surge do fato de que, após a colisão, o fóton é refletido, e então, por conservação de momento, $$\Delta p = 2p_f$$
b) Sim, o momento angular é de fato conservado, pois a força exercida pela radiação, assim como a gravitacional, é sempre radial. Isso pode ser provado mais formalmente da seguinte forma:
$$\vec{L}=m(\vec{r}\times \vec{v})$$
$$\dfrac{d \vec{L}}{dt}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}+\vec{r}\times\dfrac{d\vec{p}}{dt} $$
$$\dfrac{d \vec{L}}{dt}=\vec{v}\times\vec{p}+\vec{r}\times \vec{F}$$
Como $$\vec{p}$$ possui a mesma direção de $$\vec{v}$$,$$ \vec{v}\times \vec{p}=0$$, e sendo $$\vec{F}$$ uma força radial, $$\vec{r}\times \vec{F}=0$$. Assim, $$\dfrac{d\vec{L}}{dt}=0$$, então $$\vec{L}$$ de fato conserva.
c) A força exercida pela radiação tem um comportamento similar à gravitacional, com a diferença sendo o seu sentido. Então, o potencial associado deve ser da forma $$U=\dfrac{L_{Sol}A}{c4\pi r}$$, assim, por conservação de energia:
$$\dfrac{mv_{r,0}^2}{2}+\dfrac{L^2}{2mr_0^2}-\dfrac{mMG}{r_0}+\dfrac{L_{Sol}A}{c4\pi r_0}=\dfrac{mv_{r}^2}{2}+\dfrac{L^2}{2mr_{\infty}^2}-\dfrac{mMG}{r_{\infty}}+\dfrac{L_{Sol}A}{c4\pi r_{\infty}}$$
$$m\omega_0^2r_0-\dfrac{mMG}{r_0}+\dfrac{L_{Sol}A}{c4\pi r_0}=\dfrac{mv_{r}^2}{2}$$
$$-\dfrac{mMG}{2r_0}+\dfrac{L_{Sol}A}{c4\pi r_0} = \dfrac{mv_{r}^2}{2}$$
$$v_r=\sqrt{\dfrac{L_{Sol}A}{mc2\pi r_0}-\dfrac{MG}{r_0}}=15,5km/s$$
(AVANÇADO)
a) A área do buraco negro assumirá a relação:
$$A\varpropto G^{\alpha}c^{\beta}M^{\gamma} \Rightarrow [A]=[G]^{\alpha}[c]^{\beta}[M]^{\gamma}$$
Em termos das unidades:
$$L^2=\left(\dfrac{L^3}{MT^2}\right)^{\alpha}\left(\dfrac{L}{T}\right)^{\beta}M^{\gamma}$$
Equação com respeito a L: $$3\alpha+\beta=2$$
Equação com respeito a T: $$-2\alpha-\beta=0$$
Equação com respeito a M: $$-\alpha+\gamma=0$$
Resolvendo o sistema, obtém-se $$\alpha=2$$, $$\beta=-4$$ e $$\gamma=2$$
Assim:
$$A \varpropto \dfrac{G^2M^2}{c^4}$$
O que vai de acordo com a área calculada através do raio de Schwarzchild:
$$A=4\pi R_s^2=\dfrac{16\pi G^2M^2}{c^4}$$
Mas que não será usada na resolução.
Quanto a entropia, esta assume dimensões de $$\dfrac{[Q]}{[T]}=\dfrac{ML^2}{\theta T^2}$$, sendo $$\theta$$ uma unidade de temperatura. De forma similar à área:
$$S \varpropto (G^{\alpha}c^{\beta}\hbar^{\gamma}k_B^{\delta})A$$
$$\dfrac{ML^2}{\theta T^2}=\left(\dfrac{L^3}{MT^2}\right)^{\alpha}\left(\dfrac{L}{T}\right)^{\beta}\left(\dfrac{ML^2}{T}\right)^{\gamma}\left(\dfrac{ML^2}{\theta T^2}\right)^{\delta}L^2$$
Equação com respeito a L: $$3\alpha+\beta+2\gamma+2\delta=0$$
Equação com respeito a T: $$-2\alpha-\beta-\gamma-2\delta=-2$$
Equação com respeito a M: $$-\alpha+\gamma+\delta=1$$
Equação com respeito a $$\theta$$: $$-\delta=-1$$
Resolvendo o sistema, obtém-se $$\alpha=-1$$, $$\beta=3$$, $$\gamma=-1$$ e $$\delta=1$$
Assim:
$$S \varpropto \left(\dfrac{k_Bc^3}{G\hbar}\right)A \varpropto \left(\dfrac{k_Bc^3}{G\hbar}\right)\left(\dfrac{G^2M^2}{c^4}\right)$$
O que vai de acordo com o resultado obtido por Hawking $$S=\dfrac{k_Bc^3}{4G\hbar}A$$
b) Por rigor, vamos estabelecer uma constante adimensional $$K$$ na expressão da entropia para que a proporcionalidade seja na prática uma igualdade.
$$S=K\cdot \left(\dfrac{k_Bc^3}{G\hbar}\right)\left(\dfrac{G^2M^2}{c^4}\right)=K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)M^2$$
$$S+\Delta S=K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)(M+\Delta M)^2=K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)M^2\left(1+\dfrac{\Delta M}{M}\right)^2$$
$$S+\Delta S=K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)M^2 + K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)2M\Delta M$$
$$\Delta S=K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)2M\Delta M$$
$$\Delta S \varpropto \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)M\Delta M$$
c) Da equação $$E = mc^2$$, se estabelece que $$\Delta U = c^2\Delta M$$. E de acordo com a primeira lei da termodinâmica ($$\Delta U = T\Delta S + W$$):
$$c^2\Delta M=T\Delta S$$
d) Relacionando as duas equações, obtém-se:
$$\dfrac{T}{c^2}=\dfrac{\Delta M}{\Delta S} \varpropto \left(\dfrac{\hbar c}{k_BG}\right)\dfrac{1}{M}$$
$$T \varpropto \dfrac{\hbar c^3}{k_BGM}$$
$$T = \eta \dfrac{\hbar c^3}{k_BGM}$$
O que também vai de acordo com o resultado obtido por Hawking $$T = \eta \dfrac{\hbar c^3}{8\pi Gk_BM}$$
e) Substituindo os dados experimentais na equação da temperatura, obtém-se que:
$$\eta= \dfrac{TMGk_B}{\hbar c^3}=0,04\approx \dfrac{1}{8\pi}$$
Para o caso de Sagittarius A:
$$T_S = \eta \dfrac{\hbar c^3}{k_BGM}=1,54\cdot10^{-14}K$$