(INICIANTE)
Dona Tereza levou seus filhos para aproveitarem as praias de Punta Cana, $$\phi=18 ^{\circ} 30’N$$, e, durante um dia relaxante na areia, reparou que a luz solar incidente no baldinho, que seus filhos largaram para fora do guarda-sol, nem sempre chegava ao fundo da cavidade.
Curiosa, ela se propôs a investigar as condições do efeito. Considerando o diâmetro angular do Sol como 30′ e sabendo que o objeto é um cilindro de altura h=20cm e diâmetro D=12cm, responda:
a) Para uma declinação genérica do Sol, qual deve ser a altura mínima deste no céu para iluminar o fundo do baldinho, que se encontra na posição vertical?
b) Qual seria o tempo que o fundo do baldinho ficaria iluminado no dia 21 de março (equinócio)?
Dica: com trigonometria esférica é possível estabelecer a relação: $$\cos z = \cos \phi \cos H$$ para objetos que residem no equador celeste.
(INTERMEDIÁRIO)
Velas solares são protótipos de instrumentos que utilizam a pressão de radiação proveniente da estrela para propulsionar uma pequena massa acoplada. Consistem de grandes e finos espelhos, cuja normal sempre está voltada à incidência radioativa, e ao refletirem os fótons em sua superfície adquirem certo momento, que é convertido em aceleração. Para este caso, considere uma vela solar de área $$A = 250 \ m^2$$, massa $$m = 300 \ g$$, com superfície perfeitamente refletora e responda:
a) Qual é a força devido à pressão de radiação que age na vela a uma distância $$r$$ do Sol?
b) Quanto ao movimento da vela solar, uma vez lançada, pode-se dizer que seu momento angular é conservado? Por quê?
c) Determine a energia potencial associada à força que propulsiona a vela solar, e calcule qual seria a velocidade final de uma vela abandonada da órbita terrestre.
(AVANÇADO)
Em uma empolgante olímpiada de astronomia os estudantes foram apresentados à tarefa de realizar observações da temperatura efetiva de um buraco negro. Com uma instrumentação inacreditavelmente precisa, foram capazes de tirar medições de um pequeno buraco negro ($$3,5 M_{Sol}$$) na própria Via Láctea, e descobriram que este irradiava muito fracamente, com uma temperatura de $$1,75\cdot10^{-8}K$$.
Buscando uma análise mais detalhada da irradiação de um buraco negro,a próxima questão procurava uma relação entre a massa do corpo e sua temperatura efetiva. Resolva a questão, e utilize os dados experimentais quando necessário.
Considere para a análise buracos negros idealizados (sem rotação nem carga)
a) Encontre, através apenas de análise dimensional, uma relação de proporcionalidade envolvendo explicitamente as constantes e variáveis relevantes, para a área $$A$$ do buraco negro, e então para sua entropia $$S$$, sabendo que $$S \ \propto \ A$$.
Você fará uso das constantes $$k_B$$, $$c$$, $$G$$ e $$\hslash$$, porém use-as apenas quando forem relevantes.
b) Como uma pequena variação na massa do buraco negro afeta sua entropia?
Utilize que $$(1 + x)^{n}=1 + nx$$ para $$x << 1$$
c) Estabeleça a relação entre a variação de energia interna $$U$$ do buraco negro e a variação de sua massa $$M$$, e então, assumindo que nenhum trabalho é feito pelo buraco negro, encontre a dependência da temperatura com as variações da entropia e da massa.
d) Com os resultados obtidos, determine a relação entre a temperatura do buraco negro e sua massa, estabelecendo $$\eta$$ como a constante adimensional que transforma a relação de proporção em igualdade.
e) Determine a constante $$\eta$$ através dos dados experimentais e responda: qual é a temperatura efetiva de um buraco negro como Sagittarius A ($$M = 4\times10^6 M_{Sol}$$)?