INICIANTE
a) Para calcular a escala de placa devemos lembrar da fórmula:
$$p=\dfrac{1}{f}$$
Segundo o desenho a garrafa possui 30cm de comprimento, mas, como o resultado deve ser dado em rad/mm, utilizaremos 300mm nos cálculos.
$$p = \dfrac{1}{300}\rightarrow \boxed{p = 3,\overline{3} \cdot 10^{-3} \dfrac{rad}{mm} }$$
b)O campo de visão de um telescópio utilizado para observação visual é definido pela seguinte relação:
$$FOV=\dfrac{AFOV}{A}$$
Já o aumento (A) pode ser calculado utilizando:
$$A=\dfrac{f_{tel}}{f_{ocu}}$$
Como o telescópio possui 300mm de distância focal e a ocular 25mm:
$$A=\dfrac{300}{25}\rightarrow A=12x$$
Como encontramos o A e o enunciado nos deu o AFOV:
$$FOV=\dfrac{70^{\circ}}{12}\rightarrow{}\boxed{FOV=5^{\circ}50′}$$
INTERMEDIÁRIO
Já que $$m<<M$$ podemos escrever a terceira lei de Kepler como:
$$p^2=a^3\cdot\dfrac{4\pi^2}{GM}$$
$$\therefore p=\sqrt{\dfrac{a^34\pi^2}{GM}}$$
Já que:
$$f_{orb}=\dfrac{1}{p}\rightarrow{}\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{GM}{a^3}}$$
$$f_{grav}=2f_{orb}\rightarrow{}\dfrac{1}{\pi}\sqrt{\dfrac{GM}{a^3}}$$
Como a questão pede para utilizar $$\dfrac{M}{M_\odot}$$:
$$\dfrac{R}{R_\odot}=\left(\dfrac{M}{M_\odot}\right)^\alpha \rightarrow R=R_\odot \left(\dfrac{M}{M_\odot}\right)^\alpha$$
Dado que a frequência será máxima quando $$a=R$$:
$$f_{grav}=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{\dfrac{GM}{R^3}}$$
$$\therefore f_{grav}=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{\dfrac{GM}{R_\odot^3}} \left(\dfrac{M_\odot}{M}\right)^\dfrac{3\alpha}{2}$$
$$f_{grav}=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{\dfrac{GM_\odot}{R_\odot^3}} \left(\dfrac{M_\odot}{M}\right)^\dfrac{(3\alpha – 1)}{2}$$
$$\boxed{f_{grav}=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{\dfrac{GM_\odot}{R_\odot^3}} \left(\dfrac{M}{M_\odot}\right)^\dfrac{(1-3\alpha)}{2}}$$
AVANÇADO
a) Primeiramente, calcula-se o valor de $$H_0$$ com base na idade do universo:
$$t_u=\dfrac{1}{H_0} \rightarrow H_0=\dfrac{1}{t_u}$$
Transformando $$t_u$$ em segundos e aplicando na fórmula:
$$H_0\approx2,3\cdot 10^{-18} \cdot \dfrac{1}{s}$$
Curiosamente, esse é exatamente o resultado que precisamos, indica que em uma região de comprimento y, o espaço expandiu $$2,3\cdot 10^{-18}\cdot y$$ em 1 segundo, o parâmetro x que procuramos. Você poderia realizar a transformação para unidades mais usuais e realizar o caminho inverso, mas chegaria no mesmo resultado, como demonstrado abaixo:
Alterando a unidade para o usual:
$$H_0=2,3\cdot 10^{-18} \cdot \dfrac{1000000 \cdot 206265 \cdot 1.496 \cdot 10^{11}}{1000}$$
$$H_0\approx70,9 \cdot \dfrac{km}{s \cdot Mpc}$$
Ou seja, a cada segundo, um espaço de $$1 \ Mpc$$ expande $$70,9 \ km$$, aplicando esses dados para encontrar x:
$$x=\dfrac{70,9km}{1 Mpc} \rightarrow{} \dfrac{70,9\cdot1000m}{1000000\cdot206265\cdot1,496\cdot10^{11}m}$$
$$x\approx2,3\cdot 10^{-18}$$
Aplicando a fórmula cedida no problema:
$$d=\dfrac{c(e^{xt}-1)}{x} \rightarrow{} d\approx5,17\cdot10^{25}m$$
Transformando em anos-luz:
$$\boxed{d \approx 5,46\cdot10^{9} \ anos-luz}$$
b)Manipulando a equação cedida:
$$d=\dfrac{c(e^{x\cdot t}-1)}{x}$$
$$\dfrac{d\cdot x}{c} + 1 = e^{x\cdot t}$$
$$\ln \left( \dfrac{d\cdot x}{c} + 1\right) = x\cdot t$$
$$t = \dfrac {\ln \left( \dfrac{d\cdot x}{c} + 1\right)}{x}$$
Transformando anos-luz em metros:
$$d = (21 \cdot 10^{9}) \cdot (365,25 \cdot 24 \cdot 3600) \cdot c$$
Utilizando o valor de x encontrado no item a):
$$t = \dfrac{\ln{\left(\dfrac{d\cdot x}{c} + 1\right)}}{x} \rightarrow{} \dfrac{\ln{\left(\dfrac{(21 \cdot 10^{9}) \cdot (365,25 \cdot 24 \cdot 3600) \cdot c \cdot 2,3\cdot10^{-18}}{c} + 1\right)}}{2,3\cdot10^{-18}}$$
$$t=4,03\cdot10^{17} \ s \rightarrow \boxed{12,76\cdot 10^{9} \ anos}$$
c)Neste item o primeiro passo a se seguir é calcular o maior “raio” possível no universo:
$$d=\dfrac{c(e^{xt}-1)}{x}$$
Utilizando o $$H_0$$ encontrado $$x \approx 2,3 \cdot 10^{-18}$$ e $$t \approx 13,8 \cdot 10^9 \ anos$$, chegamos em:
$$d \approx 2.25 \cdot 10^{26} metros.$$
Tendo tal raio podemos calcular o “volume total” deste universo simplificado ($$\approx$$ esférico):
$$V_e=\dfrac{4}{3}\pi r^3$$
Realizando as substituições encontramos que $$V_e \approx 4,74 \cdot 10^{79} \ m^3$$
Tendo esse valor basta utilizar a equação da densidade crítica de Friedmann e calcular a massa com base no volume encontrado:
$$\rho_c = \dfrac{3H_0^2}{8\pi G}$$
$$\therefore \rho_c \approx 9.5 \cdot 10^{-27} \cdot \dfrac{Kg}{m^3}$$
Como $$V\cdot \rho_c = M \rightarrow M \approx 4,5 \cdot 10^{53}$$ Kg
(Note que o valor é diferente do real já que $$H_0$$ foi considerado constante, causando um erro na medida do volume total.)