Soluções Cálculo – Semana 15

Iniciante

Um jeito simples de resolver este problema é utilizando a regra de L’Hospital, cujo objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo “$$\frac{0}{0}$$” ou “$$\frac{\,\!\infty}{\,\!\infty}$$” através do cálculo da derivada do numerador e do denominador. Ou seja, teria-se, em um limite genérico dessa natureza: $$\lim\limits_{x \rightarrow p} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow p} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$.
Logo, o limite requerido é: $$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-cos(x)}{x^2}=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{sen(x)}{2x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{cos(x)}{2}=\frac{1}{2}$$

Intermediário

a)A expressão $$\frac{d^5y}{dx^5}$$ significa que se quer calcular a derivada de ordem $$5$$ da função, ou seja, a quinta derivada de y em relação a x. Assim, derivando, tem-se: $$f(x)=x^{-1}+cos(2x)$$ $$f'(x)=-x^{-2}-sen(2x)\cdot 2$$
$$f”(x)=2x^{-3}-cos(2x)\cdot 2^2$$
$$f”'(x)=-6x^{-4}+sen(2x)\cdot 2^3$$ $$f””(x)=24x^{-5}+cos(2x)\cdot 2^4$$ $$f””'(x)=-120x^{-6}-sen(2x)\cdot 2^5$$ Que, simplificando, é: $\frac{-5!}{x^6}-2^5 sen(2x)$

b)Para achar f deve-se primeiro achar a antiderivada de $$f'(x)$$, ou seja, calcular a seguinte integral: $$\displaystyle \int (2cos(x)+8x^3-e^x) dx$$
Que resulta em: $$f(x)=2sen(x)+8\frac{x^4}{4}-e^x+C$$ Como é sabido que f(0)=7, deve-se alterar uma parte da expressão achada, pois $$f(0)=2sen(0)+2\cdot 0^4-e^0=-1$$. Assim, a função deve ser: $$f(x)=2sen(x)+2x^4-e^x+8$$ Como a derivada de uma constante é zero, a expressão de derivada dada não é alterada.

Avançado

Solução adaptada de Humberto Borges

Pelo método de integração por substituição, seja $$u=\arctan x \ \ $$ e $$ \ \ dv = 2x \ dx $$ tal que $$ du = \displaystyle{ 1 \over 1 + x^2 } \ dx \ \ $$ and $$ \ \ v = x^2 $$
Portanto, $$ \displaystyle{ \int 2x \arctan x \, dx } = x^2 \arctan x – \displaystyle{ \int { x^2 \over 1 + x^2 } \, dx } $$
O truque aqui é adicionar a expressão no numerador da integral: $$ \ 0 = 1 – 1 \ $$. Isto vai permitir que a função seja simplificada em outras duas expressões:
$$ = x^2 \arctan x – \displaystyle{ \int { x^2 + 1 – 1 \over x^2 + 1} \, dx } $$
$$ = x^2 \arctan x – \displaystyle{ \int { x^2 + 1 \over x^2 + 1 } \, dx – \int { 1 \over x^2 + 1 } \, dx } $$
$$ = x^2 \arctan x – \displaystyle{ \int 1 \, dx + \int { 1 \over x^2 + 1} \, dx} $$
$$ = x^2 \arctan x – x + \arctan x + C $$