Soluções Cálculo – Semana 16

Iniciante

$$\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{7}{x^3-20}=$$ “$$\frac{7}{-\infty}$$” $$=0$$
Ou seja, o numerador é sempre $$7$$ e o denominador tende a $$-\infty$$ quando x tende a $$-\infty$$, portanto o limite resulta em $$0$$.

Intermediário

Pelo gráfico, a região R a ser encontrada é dada pela área entre os gráficos de g e f, “de cima para baixo”, ou seja, a região R será dada por: $$\displaystyle \int_{0}^{a} [g(x)-f(x)]dx$$

Como $$a=0.1$$: $$\displaystyle \int_{0}^{0.1} [4^{-x}-(\frac{1}{4}+sin(\pi x))]dx$$ $$=\displaystyle \int_{0}^{0.1} 4^{-x}dx -\displaystyle \int_{0}^{0.1} \frac{1}{4}dx -\displaystyle \int_{0}^{0.1} sin(\pi x)dx$$

À primeira integral aplica-se integração por substituição: $$u=-x$$ $$\longrightarrow$$ $$du=-dx$$ $$-\displaystyle \int_{0*}^{0.1**} 4^udu=-\frac{4^u}{ln(4)}=-\frac{4^{-x}}{ln(4)}$$ (nos intervalos de $$0$$ a $$0.1$$): $$-\frac{4^{-0.1}}{ln(4)}-(-\frac{4^0}{ln(4)})\simeq 0.09337 u.a$$

Cálculo das outras integrais: $$-\displaystyle \int_{0}^{0.1} \frac{1}{4}dx=-\frac{1}{4}x$$ (nos intervalos de $$0$$ a $$0.1$$): $$=-\frac{1}{4}0.1-(-\frac{1}{4}0)=-0.025 u.a$$

À terceira integral tambémm aplica-se integração por substituição: $$u=\pi x$$ $$\longrightarrow$$ $$du=\pi dx$$ $$-\frac{1}{\pi}\displaystyle \int_{0*}^{0.1**} sin(u)du=\frac{-(-cos(u))}{\pi}=\frac{cos(\pi x)}{\pi}$$ (nos intervalos de $$0$$ a $$0.1$$): $$=\frac{cos(\pi)}{\pi}-\frac{cos(0)}{\pi}\simeq -0.01557 u.a$$

Assim, a área da região R será: $$0.09337-0.025-0.01557=0.0528u.a$$

Avançado

Solução adaptada de Humberto Borges

Primeiro, divide-se a função em duas partes:
$$ \displaystyle{ \int_{0}^{1} { 3^x+4^x \over 5^x } \,dx }
= \displaystyle{ \int_{0}^{1} \Big\{ {3^x \over 5^x } + {4^x \over 5^x} \Big\} \,dx } $$
(Lembre-se que $$ \displaystyle{ { A^B \over C^B } = \Big( { A \over C }\Big)^B } $$)
$$ = \displaystyle{ \int_{0}^{1} \Big\{ \Big({3 \over 5 }\Big)^x + \Big({4 \over 5}\Big)^x \Big\} \,dx } $$
$$ = \frac{\frac{3}{5}^x}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}^x}{ln(4/5)} \Bigg\vert_{0}^{1} $$
$$ = [\frac{\frac{3}{5}^1}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}^1}{ln(4/5)}]-[\frac{\frac{3}{5}^0}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}^0}{ln(4/5)}]$$
$$ =\frac{\frac{3}{5}-1}{ln(3/5)} + \frac{\frac{4}{5}-1}{ln(4/5)}$$
$$ = \frac{-2/5}{\ln(3/5)}+\frac{-1/5}{ln(4/5)}=\simeq 1.67933$$