Iniciante
Parábola
Pela equação da parábola,
\[r(\theta)=\dfrac{p}{1+\cos{\theta}}=\dfrac{h^2/\mu}{1+\cos{\theta}}\]
Ainda, por definição,
\[h=r^2\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{h^4/\mu^2}{(1+\cos{\theta})^2}\dfrac{d\theta}{dt}\Rightarrow t=\dfrac{h^3}{\mu^2}\int_0^\theta \dfrac{d\theta}{(1+\cos{\theta})^2}\]
Fazendo uso de \(\cos{\theta}=\cos^2{(\theta/2)}-\sin^2{(\theta/2})\):
\[t=\dfrac{h^3}{4\mu^2}\int_0^\theta \dfrac{d\theta}{\cos^4{(\theta/2)}}=\dfrac{h^3}{2\mu^2}\int_0^\theta \sec^2{(\theta/2)}\, d[\tan{(\theta/2)}]\]
Como \(\sec^2{x}=1+\tan^2{x}\):
\[t=\dfrac{h^3}{2\mu^2}\int_0^\theta [1+\tan^2(\theta/2)]\, d[\tan(\theta/2)]=\boxed{\dfrac{h^3}{\mu^2}\left[\dfrac{1}{2}\tan(\theta/2)+\dfrac{1}{6}\tan^3(\theta/2)\right]}\]
Intermediário
Elipse
(a) Seja \(A\) a projeção do ponto \(P\) no eixo maior da órbita. Como a elipse pode ser vista como um círculo com suas coordenadas em \(y\) multiplicadas por \(b/a\):
\[\overline{AP}=\dfrac{b}{a}\overline{AP’}=a\sqrt{1-e^2}\sin{E}\]
Ainda,
\[\overline{AO}=\overline{OC}+\overline{AC}=ae-a\cos{E}\]
Pelo teorema de Pitágoras:
\[r=a\sqrt{(e-\cos{E})^2+(1-e^2)\sin^2{E}}=\boxed{a(1-e\cos{E})}\]
(b) Pela derivando a expressão de \(r\) em relação ao tempo para encontrar a velocidade radial:
\[v_r=\dfrac{dr}{dt}=ae\sin{E}\dfrac{dE}{dt}\]
Por conservação de momento angular:
\[h=rv_t\Rightarrow v_t=\dfrac{h}{a(1-e\cos{E})}\]
Para encontrar \(h\), consideremos o periastro:
\[r_p=a(1-e)\Rightarrow v_p=\sqrt{GM\left(\dfrac{2}{r_p}-\dfrac{1}{a}\right)}=\sqrt{\dfrac{GM}{a}\dfrac{1+e}{1-e}}\]
Como a velocidade é perpendicular ao raio vetor:
\[h=r_p v_p=\sqrt{GMa(1-e^2)}\Rightarrow v_t=\sqrt{\dfrac{GM}{a}\dfrac{1-e^2}{(1-e\cos{E})^2}}\]
Por conservação de energia:
\[\dfrac{1}{2}mv_r^2+\dfrac{1}{2}mv_t^2-\dfrac{GMm}{r}=-\dfrac{GMm}{2a}\]
\[\dfrac{1}{2}(ae\sin{E})^2\left(\dfrac{dE}{dt}\right)^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{GM}{a}\dfrac{1-e^2}{(1-e\cos{E})^2}-\dfrac{GM}{a(1-e\cos{E})}=-\dfrac{GM}{2a}\]
Simplificando a equação obtida:
\[\dfrac{1}{2}(ae\sin{E})^2\left(\dfrac{dE}{dt}\right)^2=\dfrac{GM}{2a}\dfrac{e^2\sin^2{E}}{(1-e\cos{E})^2}\Rightarrow (1-e\cos{E})^2\left(\dfrac{dE}{dt}\right)^2=\dfrac{GM}{a^3} \]
Assim, \(\boxed{k=1}\).
(c) Separando as variáveis:
\[t=\sqrt{\dfrac{a^3}{GM}}\int_0^E (1-e\cos{E})\,dE=\boxed{\sqrt{\dfrac{a^3}{GM}}(E-e\sin{E})}\]
Avançado
Hipérbole
(a) Observe a equação da elipse, com origem em seu centro:
\[\left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=\cos^2{E}+\sin^2{E}=1\]
Onde a igualdade intermediária segue do desenvolvimento da questão anterior. Agora, analise a equação de uma hipérbole com origem em seu centro:
\[\left(\dfrac{x}{a}\right)^2-\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=1\]
Se escolhermos um parâmetro \(F\) tal que \(\cosh{F}=x/a\) e \(\sinh{F}=y/b\), temos que ele satisfaria a equação da hipérbole, analogamente a E!
\[\cosh^2F-\sinh^2F=1\]
(b) Em coordenadas polares, com origem no foco primário,
\[r=\dfrac{a(e^2-1)}{1+e\cos{\theta}}\]
Assim, temos que
\[\cosh{F}=\dfrac{x}{a}=\dfrac{-r\cos{\theta}-c}{a}=-\dfrac{(e^2-1)\cos{\theta}-e(1+e\cos{\theta})}{1+e\cos{\theta}}\]
\[\cosh{F}=\dfrac{e+\cos{\theta}}{1+e\cos{\theta}}\Rightarrow \cos{\theta}=\dfrac{e-\cosh{F}}{e\cosh{F}-1}\]
Substituindo na expressão de \(r\):
\[r=\dfrac{a(e^2-1)}{1+\dfrac{e(e-\cosh{F})}{e\cosh{F}-1}}=\boxed{a(e\cosh{F}-1)}\]
(c) Analogamente ao problema anterior:
\[v_r=\dfrac{dr}{dt}=ae\sinh{F}\dfrac{dF}{dt}\]
Por conservação de momento angular:
\[h=rv_t=bv_\infty=a\sqrt{e^2-1}\sqrt{\dfrac{GM}{a}}=\sqrt{GMa(e^2-1)}\]
\[v_t=\sqrt{\dfrac{GM}{a}\dfrac{e^2-1}{(e\cosh{F}-1)^2}}\]
Por conservação de energia:
\[\dfrac{1}{2}mv_r^2+\dfrac{1}{2}mv_t^2-\dfrac{GMm}{r}=\dfrac{GMm}{2a}\]
\[\dfrac{1}{2}(ae\sinh{F})^2\left(\dfrac{dF}{dt}\right)^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{GM}{a}\dfrac{e^2-1}{(e\cosh{F}-1)^2}-\dfrac{GM}{a(e\cosh{F}-1)}=\dfrac{GM}{2a}\]
\[\dfrac{1}{2}(ae\sinh{F})^2\left(\dfrac{dF}{dt}\right)^2=\dfrac{GMe^2\sinh^2F}{2a(e\cosh{F}-1)^2}\Rightarrow (e\cosh{F}-1)\dfrac{dF}{dt}=\sqrt{\dfrac{GM}{a^3}}\]
Integrando, obtemos
\[\boxed{t=\sqrt{\dfrac{a^3}{GM}}(e\sinh{F}-F)}\]