Escrito por Paulo Henrique
Iniciante
Órbita Parabólica
Muitas vezes, estamos interessados em encontrar o tempo necessário para ir de um ponto a outro em uma órbita. Partindo da conservação de momento angular, encontre uma expressão para o tempo necessário para ir do periastro até um ponto com anomalia verdadeira \(\theta\) para uma órbita parabólica, assumindo que a massa central \(M\) seja muito maior que a massa orbitante \(m\). Deixe sua resposta em termos do momento angular específico \(h\) e do parâmetro orbital \(\mu=GM\).
Intermediário
Órbita Elíptica
Para calcular o tempo de voo de um objeto em uma órbita elíptica, é interessante utilizarmos o conceito de anomalia excêntrica. Acompanhe o diagrama na figura a seguir.
A órbita em azul representa a trajetória elíptica completa do objeto em torno de \(M\), centrada em \(C\) e de focos primário e secundário \(O\) e \(O’\), respectivamente. Trace agora, em vermelho, a circunferência de diâmetro igual ao eixo-maior da elipse, e que a tangencia em dois pontos (apoastro e periastro). Trace a vertical passando por um ponto qualquer \(P\) da órbita, e tome o seu ponto de intersecção com a circunferência mais próxima de \(P\) (\(P’\) na figura). A definição da anomalia excêntrica \(E\) pode ser, então, extraída da figura. Considere que E é contado no sentido horário a partir do periastro (onde \(E=0\)).
(a) Escreva a distância \(r\), em termos de \(a\), \(e\) e \(E\).
(b) É possível mostrar que
\[(1-e\cos{E})^2\left(\dfrac{dE}{dt}\right)^2=k\dfrac{GM}{a^3}\]
em que k é um número real. Determine \(k\).
Dica: Escreva a energia mecânica total do objeto. O resultado do item passado pode
ser bastante útil.
(c) Obtenha uma equação para o tempo \(t\) necessário para ir do periastro a um ponto de anomalia excêntrica \(E\) em função da velocidade de \(e\), \(E\) e da velocidade angular de uma órbita circular de raio \(a\).
Avançado
Órbita Hiperbólica
(a) Partindo da definição da anomalia excêntrica \(E\) e de sua relação com a equação de uma elipse no plano \(x-y\), sugira um possível parâmetro \(F\) que seria o seu análogo para uma órbita hiperbólica. Esse parâmetro não precisa ter nenhum significado físico, mas ainda assim nos ajudará a resolver o problema.
(b) Prove que a distância \(r\) é dada por
\[r=a(e\cosh{F}-1)\]
(c) Analogamente ao problema anterior, encontre uma equação que relacione o tempo \(t\) desde a passagem pelo periastro e o parâmetro \(F\).