Soluções Cálculo – Semana 17

Iniciante

Pela regra do produto, tem-se: $$f'(x)=6x^{\frac{3}{2}}\cdot d[tan(x)]+d[6x^{\frac{3}{2}}]\cdot tan(x)$$ $$=6x^{\frac{3}{2}}sec^2(x)+6\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}tan(x)$$ $$=6x^{\frac{3}{2}}sec^2(x)+9x^{\frac{1}{2}}$$ Simplificando: $$=3x^{\frac{1}{2}}(2x\cdot sec^2(x)+3tan(x))$$

Intermediário

Tem-se o gráfico de $$g'(x)$$ e quer-se achar g(x). Para isso, o conceito de integral é bastante útil:
$$g(3)=g(0)+\displaystyle \int_{0}^{3} g'(x)dx=5+\frac{\pi\cdot 2^2}{4}+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}+\pi$$
(Lembre-se que $$g(0)=5$$)
$$g(-2)=g(0)-\displaystyle \int_{0}^{-2} g'(x)dx=5-\frac{\pi\cdot 2^2}{4}=5-\pi$$

Avançado

Há um simples primeiro passo para resolver este problema, que é reescrever uma fração como uma soma ou diferença de frações:

Por exemplo: $$ \displaystyle{ { 1 \over 12 } = { 1 \over 3(4) } } = \displaystyle{ { 1 \over 3 } – { 1 \over 4 } }$$ Assim, a decomposição de $$ \displaystyle{ 1 \over i(i+1) }$$ é
$$ \displaystyle{ 1 \over i(i+1) } = \displaystyle{ {1 \over i } – {1 \over i+1 } } $$
tal que
$$ \displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{i=1}^{n} { 1 \over i(i+1) } }
=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} {{1 \over i}- {1 \over (i+1)}}$$

$$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ \Big( { 1 \over 1 } – { 1 \over 2} \Big)+\Big( { 1 \over 2 } – { 1 \over 3} \Big)+\Big( { 1 \over 3 } – { 1 \over 4} \Big)+ … + \Big( { 1 \over (n-1) } – { 1 \over n} \Big)+\Big( { 1 \over n } – { 1 \over (n+1)} \Big)}$$

$$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ 1 + (0) + (0) + (0) + …
+ (0) + (0) – { 1 \over n+1 } \Big\} } $$
$$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \Big\{ 1 – { 1 \over n+1 } \Big\} } $$
$$= 1 – 0$$ $$= 1$$