Soluções Cálculo – Semana 19

Iniciante

Já que $$\frac{d}{dx}e^x=e^x$$, pode-se usar o Teorema Fundamental do Cáculo: $$\displaystyle \int e^x dx = \displaystyle \int \frac{d}{dx} e^x dx = e^x + C$$

Intermediário

Uma boa técnica neste tipo de situação é aplicar logaritmo neperiano aos dois lados da equação, tendo-se:
$$ \ln y = \ln x^{(e^x)} $$

$$\ln y = e^x \ln x $$

Diferenciando:

$$ \displaystyle{ { 1 \over y } } y’ = e^x \Big\{ \displaystyle{ 1 \over x } \Big\} + e^x \ln x $$

$$ = \displaystyle{ e^x \over x } + e^x \ln x \Big\{ \displaystyle{ x \over x } \Big\} $$

$$ = \displaystyle{ e^x \over x } + \displaystyle{ x e^x \ln x \over x } $$

$$ = \displaystyle{e^x + x e^x \ln x \over x } $$

$$ = \displaystyle{e^x (1 + x \ln x ) \over x } $$

$$ y’ = y \displaystyle{e^x (1 + x \ln x ) \over x } $$

$$ = x^{(e^x)} \displaystyle{e^x (1 + x \ln x ) \over x^1 } $$

$$ = x^{(e^x-1)} e^x (1 + x \ln x ) $$

Avançado

Divida o intervalo $$ [0, 1] $$ em $$ n $$ partes iguais, cada uma com medida $$ \Delta x_{i} = \displaystyle{ 1-0 \over n } = \displaystyle{ 1 \over n }$$ para $$ i=1, 2, 3, …, n $$ Defina também
$$ c_{i} = 0 + \Big( \displaystyle{ 1-0 \over n } \Big) i = \displaystyle{ i \over n }$$ para $$ i=1, 2, 3, …, n $$ A função é $$ f(x) = 2x+3 $$ .
Então, a integral definida é:

$$ \displaystyle{ \int^{1}_{0} (2x+3) \, dx}
= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(c_{i}) \Delta x_{i} } $$

$$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f\Big({ i \over n }\Big) \Big({1 \over n}\Big) } $$

$$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}
\Big(2\Big( { i \over n } \Big)+3 \Big) \Big({1 \over n}\Big) } $$

$$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}
\Big( { 2i \over n^2 } + {3 \over n} \Big) } $$

$$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ \sum_{i=1}^{n}
{ 2i \over n^2 } + \sum_{i=1}^{n} {3 \over n} \Big\} } $$

$$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ { 2 \over n^2 }\sum_{i=1}^{n}
i + n \Big({3 \over n}\Big) \Big\} } $$

$$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ { 2 \over n^2 }
{ n(n+1) \over 2 } + 3 \Big\} } $$

$$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ { n^2+n \over n^2 } + 3 \Big\} } $$

$$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ { n^2 \over n^2 } + { n \over n^2 } + 3 \Big\} } $$

$$ = \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ 1 + { 1 \over n } + 3 \Big\} } $$

$$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ 4 + { 1 \over n } \Big\} } $$

$$ = 4 + 0 $$

$$ = 4 $$