Escrito por Hugo Menhem
Iniciante
Paralaxe em apontamentos
É possível desenhar o seguinte esquema, transformando as coordenas esféricas em coordenas cartesianas:
Para tal, foi utilizado as seguintes formulas para transformar coordenadas:
\[z = R \sin h\] \[y = R \cos h \cos A\] \[x = R \cos h \sin A\]
Assim, para M.P.,
\[D \sin h = D ‘ \sin h’ \Rightarrow D’ = D \frac{\sin h}{\sin h’}\] \[R \cos \theta + D \cos h \cos A = D’ \cos h’ \cos A’\] \[R \sin \theta + D \cos h \sin A = D’ \cos h’ \sin A’\]
Substituindo a primeira equação nas duas ultimas,
\[R \cos \theta + D \cos h \cos A = D \sin h \cot h’ \cos A’\] \[R \sin \theta + D \cos h \sin A = D \sin h\cot h’ \sin A’\]
dividindo uma pela outra,
\[\tan A’ = \frac{R \sin \theta + D \cos h \sin A}{R \cos \theta + D \cos h \cos A}\]
Pela primeira equação,
\[\sin h’ = \frac{D}{D’}\sin h\]
Calculando a distância vista por M.P.
\[D’^2 = (D \sin h)^2 + (D \cos h \sin A – R \sin\theta)^2 + (D \cos h \cos A – R \cos\theta)^2\] \[D’^2 = D^2 – 2DR \cos h (\sin A \cos\theta + \cos A \sin\theta )+ R^2\] \[D’ = \sqrt{D^2 – 2DR \cos h \sin (A+\theta)+ R^2}\]
assim,
\[\sin h’ = \frac{D\sin h }{\sqrt{D^2 – 2DR \cos h \cos (A-\theta)+ R^2}}\]
Em conclusão, M.P. verá laser apontado para:
\[\boxed{h’ =\arcsin \left[ \frac{D\sin h }{\sqrt{D^2 – 2DR \cos h \cos (A-\theta)+ R^2}} \right]}\] \[\boxed{A’ =\arctan \left[ \frac{R \sin \theta + D \cos h \sin A}{R \cos \theta + D \cos h \cos A} \right]}\]
Além disso, é possível provar que, em coordenadas esféricas centradas em M.T., os pontos referentes à M.P., \((A,h)\) e \((A’,h’)\) formam um circulo máximo.
Intermediário
Lente de foco variável
a) utiliza-se a equação de Gauss para determinar os a posição de formação das imagens. Com a aproximação de que o objeto a ser observado está no infinito, a primeira imagem é formada em:
\[\frac{1}{F_1} = \frac{1}{P}+\frac{1}{P_1} \Rightarrow P_1 = F_1\]
depois, esta imagem é “observada” pela segunda lente e forma-se uma segunda imagem
\[\frac{1}{F_2} = \frac{-1}{P_1-d}+\frac{1}{P_2-d} \Rightarrow P_2 – d = \frac{F_1F_2-F_2d}{F_1+F_2-d}\]
pela definição de foco equivalente,
\[\frac{1}{F_{eq}} = \frac{1}{P}+\frac{1}{P_2} \Rightarrow P_2 = F_{eq}\]
assim,
\[\boxed{F_{eq} = \frac{F_1F_2-F_2d}{F_1+F_2-d} + d = \frac{F_1F_2 + F_1d – d^2}{F_1+F_2-d}}\]
b) É possível desenhar o seguinte esquema de raios:
Focando neste primeiro triângulo,
percebe-se que
\[F_1 \tan \theta_1 = (F_1-d)\tan \theta_2 \Rightarrow \tan \theta_2 = \frac{F_1}{F_1-d} \tan \theta_1\]
Para achar a escala da placa, em \(rad/m\), utilizando a figura mais ampla, divide-se:
\[\frac{\theta_1}{L} = \frac{\theta_1}{(F_{eq}-d)\tan \theta_2} = \frac{\theta_1(F_1-d)}{(F_{eq}-d)F_1\tan \theta_1}\]
substituindo \(F_{eq}\) aproximando \(\tan \theta_1 \approx \theta_1\)
\[\boxed{p = \frac{\theta_1}{L} = \frac{(F_1-d)(F_1+F_2-d)}{(F_1F_2-F_2d) F_1} = \frac{F_1+F_2-d}{F_1 F_2}}\]
É interessante notar que a razão não é igual à \(F_{eq}^{-1}\), e isso também não é verdadeiro caso seja definido o a distancia focal equivalente a partir da segunda lente:
\[F_{eq}’ = F_{eq} – d = \frac{F_1F_2-F_2d}{F_1+F_2-d} \Rightarrow F_{eq}’^{-1} = \frac{F_1+F_2-d}{F_1F_2-F_2d} \ne \frac{F_1+F_2-d}{F_1 F_2}\]
Dessa forma, percebe-se que este conjunto óptico necessita de um tubo de telescópico/lente de câmera menor para a mesma escala de placa, o que facilita na portabilidade do instrumento. além disso, este mecanismo é bastante útil, principalmente em uma câmera, pois proporciona um campo de visão que varia linearmente com a distância entre as duas lentes primárias
c) Para observar com o olho a imagem formada pelo telescópio, é necessária uma ocular com distância focal \(F_{oc}\) a uma distância \(F_{oc}\) após o plano focal equivalente do conjunto de lentes primárias. Dessa forma,
\[F_{oc} \tan \theta_{oc} = L =\frac{\theta_1}{p}\]
fazendo a aproximação de pequenos ângulos,
\[\boxed{A = \frac{\theta_{oc}}{\theta_1} = \frac{1}{p F_{oc}} = \frac{F_1 F_2}{F_{oc}(F_1+F_2-d)}}\]
d) pode ser desenhado um novo esquema de raios,
Por semelhança de triângulos,
\[\frac{D}{F_1} = \frac{D’}{F_1-d}\] \[\frac{D’}{F_{eq}-d} = \frac{L}{F_{ob}}\] \[\frac{L}{F_{ob}} = \frac{D(F_1-d)}{F_1(F_{eq}-d)}\] \[\frac{L}{F_{ob}} = \frac{D(F_1-d)(F_1+F_2-d)}{F_1(F_1F_2-F_2d)} = \frac{D(F_1+F_2-d)}{F_1F_2}\] \[\boxed{L = D\frac{F_{ob}(F_1+F_2-d)}{F_1F_2} = \frac{D}{A}}\]
É interessante notar que, mesmo com um conjunto óptico distinto, a saída de pupila ainda é \(D/A\).
Avançado
Determinação de órbita
a) A solução se baseia na equação polar da elipse, que relaciona \(\theta\) com \(r\):
\[r = a \frac{1-e^2}{1+e\cos \theta}\]
para isso, precisamos de \(\theta\), que é a anomalia verdadeira do satélite. Esta é medida no plano da órbita, portanto devemos utilizar o seguinte triângulo esférico:
Pela lei dos Cossenos,
\[\cos \theta = \cos\alpha \cos \delta + \sin\alpha \cos\delta\cos(90)\] \[\cos \theta = \cos\alpha \cos \delta\]
substituindo na equação polar,
\[r = a \frac{1-e^2}{1+e\cos\alpha \cos \delta }\]
para linearizar a equação, eleva-se os dois lados por \(-1\):
\[r^{-1} = \frac{1}{a(1-e^2)} + \frac{e}{a(1-e^2)}\cos\alpha \cos \delta\]
Dessa forma, ao plotar o gráfico \(r^{-1} \times (\cos\alpha \cos \delta)\), é possível achar o coeficiente linear e o angular, e chega-se no seguinte conjunto de equações:
\[A = \frac{1}{a(1-e^2)}\] \[B = \frac{e}{a(1-e^2)}\]
assim,
\[e = \frac{B}{A}\] \[a = \frac{1}{A(1- e^2)}\]
A partir da formula de propagação de erro,
\[\sigma_f = \sqrt{\left( \sigma _a \frac{\partial f}{\partial a}\right)^2 + \left( \sigma _b \frac{\partial f}{\partial b}\right)^2}\] \[\sigma _e = \sqrt{\left(\frac{\sigma _B}{A}\right)^2 + \left(\frac{B\sigma _A}{A^2}\right)^2}\] \[\sigma _a = \sqrt{\left(\frac{\sigma _A}{A^2 (1-e^2)}\right)^2 + \left(\frac{2e\sigma _e}{A(1-e^2)^2}\right)^2}\]
Por sua vez, para achar \(\sigma_B\) e \(\sigma_A\), utiliza-se os parâmetros da regressão linear
\[\sigma_B = B \sqrt{\frac{r^{-2} – 1}{N-2}}\] \[\sigma_A = \sigma_B \sqrt{\bar{x}^2 + \sigma_x^2}\]
Realizando estes procedimentos,
\[A = (4,69 \pm 0,04) \cdot 10^{-4} km^{-1}\] \[B = (1,84 \pm 0,06) \cdot 10^{-4} km^{-1}\]
e portanto
\[\boxed{e = 0,39 \pm 0,01}\] \[\boxed{a = (2520 \pm 40) km}\]
b) Já para achar \(i\), utiliza-se a lei dos quatro elementos:
\[\cot i \sin (90) + \cos \alpha \cos (90) = \cot \delta \sin \alpha\] \[i =\arctan \left( \frac{\tan \delta}{ \sin \alpha} \right)\]
Tabelando estes valores para cada medição,
para obter um valor aproximado de \(i\), tira-se a média, e seu erro será o erro da média, dado por
\[\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma_x}{\sqrt{N}}\]
A média dos valores é
\[\boxed{\bar{i} = (11,9 \pm 2,6 )^o}\]