Iniciante
Observando o satélite
a) Para determinar o diâmetro angular, vamos utilizar o seguinte esquema:
Observando o triângulo retângulo, podemos ver que:
\[\sin \frac{\theta}{2} = \frac {R}{a – R_M}\]
Substituindo os valores numéricos:
\[\theta \approx 13’\]
b) Para determinar o intervalo de latitudes vamos analisar o caso limite em que Phobos está no horizonte do observador e sobre o meridiano local.
Utilizando a lei dos senos:
\[\frac{\sin 90^\circ}{a} = \frac{\sin(90^\circ – |\phi_{max}|)}{R_M}\]
Resolvendo:
\[|\phi_{max}| \approx 69^\circ\]
Ou seja, poderemos observar Phobos no intervalo de latitudes marcianas \(-69^\circ \leq \phi \leq 69^\circ\).
Intermediário
Colapsando o satélite
a) Para encontrar a expressão do Limite de Roche, precisamos analisar a variação de força gravitacional entre dois pontos diferentes no satélite. Vamos utilizar o caso em que o diferencial de força é máximo, analisando uma massa de prova no centro do satélite e outra na superfície.
Equacionando, encontramos:
\[\Delta F = F – (F’ – f )\]
\[\Delta F = \frac{GM\mu}{d^2} – \frac{GM\mu}{(d-R)^2}+\frac{Gm\mu}{R^2}\]
O Limite de Roche é o caso limite da expressão acima, em que \(\Delta F = 0\), assim:
\[\frac{GM\mu}{d^2} – \frac{GM\mu}{(d-R)^2}+\frac{Gm\mu}{R^2} = 0\]
\[\frac{GM\mu}{(d-R)^2} – \frac{GM\mu}{d^2} = \frac{Gm\mu}{R^2}\]
Utilizando a aproximação \((1+x)^n \approx 1+nx\) para \(x << 1\):
\[\frac{GM\mu}{d^2} \left(1+\frac{2R}{d}\right) – \frac{GM\mu}{d^2} = \frac{Gm\mu}{R^2}\]
Desenvolvendo:
\[\frac{2GM\mu}{d^3}R = \frac{Gm\mu}{R^2}\]
\[\frac{2M}{d^3} = \frac{m}{R^3}\]
\[\Rightarrow d = \sqrt[3]{\frac{2M}{m}} R\]
Em que \(d\) é a distância do Limite de Roche. Substituindo os valores numéricos:
\[d \approx 5500 \;\rm{km}\]
b) Tomando uma massa de prova \(\mu\) na superfície de Marte que é elevada a uma altura \(h\) devido à força de maré de Phobos, podemos dizer que sua energia potencial gravitacional é:
\[E = \mu g_M h\]
Para manter o equilíbrio, vamos igualar essa expressão ao trabalho realizado pela força de maré:
\[\mu g_M h = \mu a_g R_M\]
Sendo \(a_g\) a aceleração gravitacional causada pela força de maré de Phobos em Marte e \(R_M\) o raio de Marte.
Sendo os termos das acelerações gravitacionais:
\[g_M = \frac{GM_M}{R_M^2}\]
\[a_g = \frac{2GM_PR_M}{a^3}\]
Substituindo na expressão inicial:
\[h = \frac{a_g}{g_M}R_M\]
\[h = \frac{\frac{2GM_P R_M}{a^3}}{\frac{GM_M}{R_M^2}}R_M\]
\[h = \frac{2M_P}{M_M} \frac{R_M^4}{a^3}\]
Substituindo os valores numéricos:
\[h \approx 6 \;\rm{mm}\]
Avançado
Anéis de Marte
Para a determinação do período dos anéis formados vamos nos basear na conservação do momento angular, já que não houve dissipação de energia no processo de colapso de Phobos.
Utilizando a relação entre o momento de inércia e a velocidade angular temos que:
\[\omega = \frac{L}{I}\]
\[\frac{2\pi}{T} = \frac{L}{I}\]
\[\Rightarrow T = 2\pi \frac{I}{L}\]
Sendo o momento angular da órbita de Phobos, aproximando a órbita para circular temos que:
\[L = mvr\]
Como \(v = \sqrt{\frac{GM_M}{r}} \)
\[L = m\sqrt{GM_Mr}\]
Agora vamos calcular o momento de inércia da nuvem em cada uma das distribuições de massa.
a) Para um anel temos:
\[I = \int r^2 \; dm\]
Analisando a distribuiçã de massa do anel, temos:
\[\frac{dm}{m} = \frac{d\theta}{2\pi}\]
\[dm = m \frac{d\theta}{2\pi}\]
Assim:
\[I = d^2 \int_0^{2\pi} \frac{m}{2\pi} d\theta\]
\[\Rightarrow I_{Anel} = md^2\]
Substituindo na expressão inicial:
\[T = 2\pi \frac{md^2}{m\sqrt{GM_Mr}}\]
\[T = 2\pi \frac{d^2}{\sqrt{GM_Mr}}\]
Onde \(d\) é a distância entre o centro de Marte e o anel, \(M_M\) a massa de Marte e \(r\) o raio orbital de Phobos antes do colapso.
b) Para um disco temos:
\[I = \int r^2 \; dm\]
Analisando a distribuiçã de massa do anel, temos:
\[\frac{dm}{m} = \frac{dA}{\pi R^2}\]
Como \(dA = 2\pi r dr\):
\[\frac{dm}{m} = \frac{2\pi r dr}{\pi R^2}\]
\[dm = m \frac{2 r dr}{R^2}\]
Então:
\[I_{Disco} = \frac{2m}{R^2} \int_0^R r^3 \;dr\]
\[\Rightarrow I = \frac{mR^2}{2}\]
Substituindo na expressão inicial:
\[T = 2\pi \frac{mR^2}{2m\sqrt{GM_Mr}}\]
\[T = \pi \frac{R^2}{\sqrt{GM_Mr}}\]
Onde \(R\) é o raio do disco formado, \(M_M\) a massa de Marte e \(r\) o raio orbital de Phobos antes do colapso.
c) Para um toróide temos:
\[I = \int \rho R^2 dxdydz\]
utilizando coordenadas cilíndricas, \(x = R \cos \theta\), \(y = R \sin \theta\) e \(z=z\):
\[dxdydz = R \; dzdrd\theta\]
Então:
\[I = \int \rho R^3dzdrd\theta = 2\pi \rho \int R^3dzdr\]
\[I = 2\pi \rho \int x^3dzdx\]
Realizando uma substituição de variável para deslocar o eixo de rotação:
\[x’ = x – r\]
\[dx’ = dx\]
Temos que:
\[I = 2\pi \rho \int_{-R}^R \int_{-\sqrt{R^2-x’^2}}^{\sqrt{R^2-x’^2}} (x’ + r)^3 \; dzdx’\]
\[I = 4\pi \rho \int_{-R}^R (x+r)^3\sqrt{R^2-x^2}dx\]
Resolvendo a integral:
\[I = 2 \pi^2\rho r R^2 \left(\frac{3}{4}R^2 + r^2\right)\]
Como \(m = 2 \pi^2\rho r R^2\):
\[\Rightarrow I_{Toroide} =m \left(\frac{3}{4}R^2 + r^2\right)\]
Substituindo na expressão inicial:
\[T = 2\pi \frac{m \left(\frac{3}{4}R^2 + d^2\right)}{m\sqrt{GM_Mr}}\]
\[T = 2\pi \frac{\left(\frac{3}{4}R^2 + d^2\right)}{\sqrt{GM_Mr}}\]
Onde \(d\) é a distância entre o centro de Marte e o centro do toróide, \(R\) é o raio da seção transversal do toróide, \(M_M\) a massa de Marte e \(r\) o raio orbital de Phobos antes do colapso.