Iniciante
Nós sabemos que a CNTP, por convenção, temos:
$$T=0^{o}C=273K$$
$$P=1atm=10^5 Pa$$
$$V=22,4 L=22,4 . 10^{-3} m^{3}$$
E com $$n= 1 mol$$,podemos plotar na equação de Clapeyron e achar a constante $$R$$
$$PV=nRT$$
$$R=\frac{PV}{nR}=8,2 \frac{J}{K mol}$$
Intermediário
Solução enviada por Abner Moreira:
Sendo a velocidade terminal constante,
$$mg=F+E$$
$$mg=6\pi \eta rv + \rho_{o} gV\ \ \ (1) $$
$$m=\rho_{e}V=\rho_{e}\frac{4\pi r^3}{3}\ \ \ \ (2)$$
Aplicando $$(2)$$ em $$(1)$$ e isolando $$v$$:
$$v=\frac{2gr^2 (\rho_{e} -\rho_{o})}{9\eta}$$
Avançado
Para encontrar esse diferencial de probabilidade, precisamos apenas colocar um fator de probabilidade multiplicando o volume do espaço de fase (desconsideraremos a parte do momento, pois é um termo à parte), que é (em coordenadas esféricas):
$$d\Gamma=4\pi r^2 dr$$
Onde $$\Gamma$$ é o volume do espaço de fase
Logo, nosso $$dP(r)$$ é do tipo:
$$dP(r)=f(r)dr=g(r)d\Gamma=g(r).4\pi r^2 dr$$
Nosso g(r) calcula a probabilidade por volume de fase, isso deve ser do tipo:
$$g(r)=A e^-\left (\frac{U}{KT}\right)$$
Nos achamos A se fizermos $$P_{total}=1$$
Assim, devemos integrar $$dP(r)$$ em todo espaço e igualar a 1.
$$4\pi A \int r^2 dr e^-(\frac{ar^2}{KT})=1$$
Multiplicando por $$(\frac{a}{KT})^\frac{3}{2}$$ dos dois lados, e definindo:
$$x^2=\frac{ar^2}{KT}$$
$$4\pi A \int x^2 e^-(x)^2 dx=(\frac{a}{KT})^\frac{3}{2}$$
Essa integral tem solução por partes:
$$ \int x^2 e^-x^2 dx=\frac{-x e^-x^2}{2}+\frac{\int e^-x^2 dx}{2}$$
É sabido que:
$$\int e^-x^2 dx=\frac{\sqrt[2]{\pi}}{2}=\frac{I}{2}$$
Prova:
Vamos fazer a mesma integral com três índices, x, y e z. Podemos trocar essa notação por uma polar, já que vamos variar todos índices de zero a infinito. (Só estamos mudando a forma de contagem)
$$I^3=\int \int \int e^-(x^2+y^2+z^2) dx dy dz=\int 4\pi e^-(r^2) \ r^2 dr=2\pi \int e^-r^2 dr$$
A última integral é de zero a infinito, enquanto a integral $$I$$ vai de $$-\infty$$ a $$+\infty$$. Logo
$$I^3=2\pi \frac{I}{2}=\pi I$$
$$I=\sqrt[2]{\pi}$$
Logo:
$$A= (\frac{a}{\pi KT})^\frac{3}{2}$$
Logo:
a,c)
$$dP(r)=(\frac{a}{\pi KT})^\frac{3}{2} 4\pi r^2 e^-(\frac{ar^2}{KT}) dr $$
$$dN(r)=N_{total}.dP(r)$$
$$n_{o}=(\frac{a}{\pi KT})^3/2$$
$$dN(r)=n_{o}4\pi r^2 e^-(\frac{ar^2}{KT}) .dr$$
b)
A distância mais provável ocorrerá quando o diferencial de probabilidade for máximo,ou seja:
$$\frac{dP}{dr}=$$Máximo
$$\frac{d^2 P}{dr^2}=0$$
$$2r e^-(\frac{-ar^2}{KT}) -2\frac{ar^3}{KT}e^(\frac{-ar^2}{KT})=0$$
$$r_{mais\ provavel}=\sqrt[2]{\frac{KT}{a}}$$
d)
A concentração no centro é $n_{o}$, se fizermos a temperatura decrescer em $\eta$
$$n_{o} \propto T^\frac{-3}{2}$$
$$ \frac{n_{o}(\frac{T}{\eta})}{n_{o}(T)}=\eta^\frac{3}{2}$$
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