Iniciante
Olhando a terra “Por cima” temos a imagem de um disco de raio “R”.A distância percorrida de Siene até Alexandria é um arco da circunferência nos limites desse disco.Ou seja,o comprimento do arco pode ser encontrado por regra de três,pois sabemos que o comprimento total da circunferência é:
$$l_{total}=2\pi R$$
Mas já que o comprimento do arco é proporcional ao ângulo,podemos fazer uma regra de três:
$$\frac{l_{segmento}}{\alpha}=\frac{l_{total}}{2\pi}$$
Tal que:
$$l_{segmento}=\alpha R$$ (1)
Sendo $$\alpha$$ o ângulo em radianos que o arco cobre (Perceba que no enunciado foi nos dado um ângulo em graus,ainda precisamos transformar-lo em radianos)
O raio de luz faz um ângulo com a vertical igual ao ângulo que o arco de circunferência entre Siene e Alexandria cobre,isso pode ser verificado por construção da figura.Agora vamos trabalhar o ângulo.Sabemos que 360 graus (uma volta) é a mesma coisa que um ângulo de $$2\pi$$ radianos,assim,podemos construir uma regra de três para transformar as unidades de ângulos para radianos.
$$\frac{\alpha_{radiano}}{2 \pi}=\frac{\alpha_{grau}}{360}$$ $$(\alpha_{radiano}=\alpha)$$
$$\alpha=\alpha_{grau} \frac{\pi}{180}$$
Substituindo tudo em (1):
$$l_{segmento}=\frac{\alpha_{grau} \pi R}{180}$$
$$R=\frac{180 l_{segmento}}{\pi \alpha_{grau}}$$
Já que o arco foi medido com um transferidor de graduação $$0,1 grau$$,podemos estimar sua incerteza como sendo metade disso,logo:
$$\alpha_{grau}=(7,20 \pm 0.05) graus$$
A nossa expressão pra R tem incerteza apenas em um fator,o $$\alpha$$,o resto não tem incerteza alguma associada.O $$\alpha$$ aparece dividindo,e como vimos:
$$\sigma_{\frac{1}{g}}=\frac{\sigma_{g}}{g^2}$$ (Demonstrado no último problema,mas isso seria dado para você numa questão comum)
logo:
$$\sigma_{\frac{1}{\alpha_{grau}}}=\frac{\sigma_{\alpha_{grau}}}{\alpha^2_{grau}}$$
$$\sigma_{\frac{1}{\alpha_{grau}}}=\frac{0,05}{7,2^2}=0.001 \frac{1}{grau}$$
$$\frac{1}{\alpha_{grau}}=(0,139 \pm 0.001) \frac{1}{grau}$$
$$R=\frac{180 l_{segmento}}{\pi \alpha_{grau}}=\frac{180 l_{segmento}}{\pi} (0,139 \pm 0,001)$$
$$R=(635 \pm 5).10 km$$
Esse raio é aproximadamente o raio medido atualmente da terra,é impressionante como um experimento tão antigo trouxe uma estimativa tão razoável.
Intermediário
A energia cinética do sistema é a soma da energia cinética das duas partículas:
$$E_{cin}=T=\frac{m_{1} v_{1}^2}{2} + \frac{m_{2} v_{2}^2}{2}$$ (1) $$(v^2=\vec{v} . \vec{v})$$
Nós podemos considerar que a energia do sistema é devido a uma contribuição devido à energia do centro de massa,mais uma contribuição devido à velocidade relativa das duas partículas,o que pode ser escrito como:
$$T=E_{cm}+E_{relativo}=\frac{M_{sistema} v_{cm}^2}{2}+E_{relativo}$$
Considerando que a contribuição do centro de massa é a energia cinética de uma massa representando o sistema,essa que é a massa total dela,com a velocidade dele,afinal,isso é o centro de massa….
Mas,a velocidade do centro de massa é a velocidade que uma partícula de massa $$M_{sistema}$$ tem,tal que a quantidade de movimento dela é igual à quantidade de movimento do sistema.O que pode ser escrito como:
$$M_{sistema} \vec{v_{cm}}=\sum_{1}^N m_{i}.\vec{v_{i}}$$ (Considerando o sistema com N partículas)
No nosso caso só temos duas massas,logo:
$$(m_{1}+m_{2})\vec{v_{cm}}=(m_{1}\vec{v_{1}}+m_{2}\vec{v_{2}})$$ (2)
Podemos achar o $$E_{relativo}$$ se juntarmoss a equação (1) com a equação (2):
$$E_{relativo}=\frac{m_{1}v_{1}^2}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^2}{2} – E_{cm}=\frac{m_{1}v_{1}^2}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^2}{2} – \frac{(m_{1}\vec{v_{1}}+m_{2} \vec{v_{2}})^2}{2(m_{1}+m_{2})}$$
$$E_{relativo}=\frac{(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1}^2+m_{2}v_{2}^2)-(m_{1}^2 v_{1}^2 + m_{2}^2 v_{2}^2 +2 m_{1} m_{2} \vec{v_{1}}.\vec{v_{2}})}{2(m_{1}+m_{2})}$$
$$E_{relativo}=\frac{m_{1}^2 v_{1}^2+m_{2}^2 v_{2}^2+m_{1}m_{2}v_{1}^2+m_{1}m_{2}v_{2}^2 -m_{1}^2 v_{1}^2-m_{2}^2 v_{2}^2 -2m_{1}m_{2}\vec{v_{1}}.\vec{v_{2}}}{2(m_{1}+m_{2})}$$
E simplificando com produtos notáveis:
$$E_{relativo}=\frac{m_{1} m_{2} (\vec{v_{2}}-\vec{v_{1}})^2}{2(m_{1}+m_{2})}$$
O que mostra que:
$$T=E_{1}+E_{2}=E_{cm}+E_{relativo}=\frac{(m_{1}+m_{2})v_{cm}^2}{2}+\frac{m_{1}m_{2}(v_{2}-v_{1})^2}{2(m_{1}+m_{2})}$$ $$(p_{cm}=(m_{1}+m_{2})v_{cm})$$
$$p_{cm}$$ é o momento linear do centro de massa.
Assim,vimos que a energia do sistema pode vista como composta de duas maneiras (equivalentes).Podemos ver a energia do sistema como a energia da partícula 1 mais a energia da partícula 2,ou como a soma da energia do centro de massa do sistema com um termo residual da velocidade relativa entre as partículas.Perceba que eu usei o termo “residual” para a energia devido à velocidade relativa,eu usei pois a velocidade relativa entre as partículas é a mesma em qualquer referencial.Logo a energia do movimento relativo é a mesma em todos os referenciais!!!Assim não importa se você zera a velocidade do centro de massa,ainda sim resta um resíduo de energia devido à velocidade relativa das partículas.O que muda na energia quando vamos de um referencial para o outro é a energia do centro de massa,pois a velocidade do centro de massa muda quando mudamos a velocidade do referencial,podemos zerar a velocidade do centro de massa se formos para o referencial do centro de massa,pois a velocidade do centro de massa no referencial do centro de massa é zero (Sua velocidade em relação a você mesmo é zero),logo a energia se deve apenas ao termo de velocidade relativa.Assim,o centro de massa é o referencial de menor energia cinética do sistema,e nele,a energia do sistema é:
$$T_{,cm}=T_{min}=\frac{m_{1}m_{2}(v_{2}-v_{1})^2}{2(m_{1}+m_{2})}$$
Avançado
O método mais interessante para se lidar com movimentos dotados de vínculos estranhos (como o pêndulo duplo),é o Lagrangiano.
Usaremos aqui apenas a construção da Lagrangeana $$(T-V)$$,e a equação de euler lagrange.
Primeiro de tudo,vamos achar a energia potencial do sistema,o que é mais trivial.
A energia potencial das massas é apenas gravitacional.Vamos tomar o ponto onde o fio “mais alto” está preso como $$y=o$$.
Assim:
Obs: T-Energia cinética V-Energia Potencial
$$V_{1}=mgy_{1}=-mglcos(\theta_{1})$$
$$V_{2}=mgy_{2}=-mgl(cos(\theta_{1})+cos(\theta_{2}))$$
$$V=V_{1}+V_{2}=-mgl(2cos(\theta_{1})+cos(\theta_{2}))$$
A energia cinética é um pouco mais trabalhosa de se achar. Sabemos que:
$$x_{1}=lsen(\theta_{1}) —->\dot{x_{1}}=lcos(\theta_{1})\dot{\theta_{1}}$$
$$y_{1}=lcos(\theta_{1}) —-> \dot{y_{1}}=-lsen(\theta_{1}) \dot{\theta_{1}}$$
$$v_{1}=\sqrt[2]{(\dot{y_{1}})^2+(\dot{x_{1}})^2}=l\dot{\theta_{1}}$$
$$x_{2}=l(sen(\theta_{1})+sen(\theta_{2}))$$
$$\dot{x_{2}}=l(\dot{\theta_{1}}cos(\theta_{1})+\dot{\theta_{2}}cos(\theta_{2}))$$
$$y_{2}=l(cos(\theta_{1})+cos(\theta_{2}))$$
$$\dot{y_{2}}=-l(\dot{\theta_{1}}sen(\theta_{1})+\dot{\theta_{2}}sen(\theta_{2}))$$
$$v_{2}^2=(\dot{x_{2}})^2+(\dot{y_{2}})^2=l^2(\dot{\theta_{1}}^2+\dot{\theta_{2}}^2+2\dot{\theta_{1}}\dot{\theta_{2}}cos(\theta_{1}-\theta_{2}))$$
$$T=\frac{m}{2} (v_{1}^2+v_{2}^2)$$
$$L=T-V$$
Agora,usemos do fato que os ângulos são muito pequenos,ou seja:
$$cos(\theta) \cong 1 -\frac{\theta_{1}^2}{2}$$
Assim:
$$L \cong \frac{m}{2}l^2 (2\dot{\theta_{1}}^2+\dot{\theta_{2}}^2+2\dot{\theta_{1}}\dot{\theta_{2}})-\frac{mgl}{2} (2\theta_{1}^2+\theta_{2}^2) + constante$$
Aplicando a equação de Euler Lagrange:
$$\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}})=\frac{\partial L}{\partial q_{i}}$$
Fazendo (x) e aplicando:
x=1) $$q_{i}=\theta_{1}$$
$$ml^2 (2\ddot{\theta_{1}}+\ddot{\theta_{2}})=-2mgl\theta_{1}$$
x=2) $$q_{i}=\theta_{2}$$
$$ml^2 (\ddot{\theta_{1}}+\ddot{\theta_{2}})=-mgl\theta_{2}$$
Num modo normal de vibração os dois pêndulos oscilam com a mesma frequêncial,tal que podemos escrever:
$$\theta_{i}=A_{i}cos(\omega t)$$ (i=1,2)
Simplificando tudo temos:
$$2(\omega^2 -\omega_{o}^2)A_{1}+\omega^2 A_{2}=0$$
$$\omega^2 A_{1}+ (-\omega_{o}^2+\omega^2)A_{2}=0$$
Isolando $$A_{2}$$ chegamos a:
$$2(\omega^2 -\omega_{o}^2)^2=\omega^2 \omega^2$$
$$\omega^2=\omega_{o}^2(2 \pm \sqrt[2]{2})$$
Substituindo para encontrar os respectivos as:
Caso +)
$$A_{2}=-\sqrt[2]{2}A_{1}$$
Caso -)
$$A_{2}=\sqrt[2]{2}A_{1}$$
É esperado realmente que o caso em que eles oscilam com defasagem (amplitude negativa se comparada a outra) tenha uma frequência maior,é como se houvesse um “puxão” do outro lado sempre.
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