Semana 27 – Soluções Matemática

Já que $$mdc(a,a^n-1)=1$$, pelo teorema de Euler-Fermat temos que $$a^{\phi(a^n-1)}\equiv 1 \pmod{a^n-1}$$; por outro lado, $$n$$ é a ordem de $$a$$ módulo $$a^n-1$$ já que $$a^n\equiv1\pmod{a^n-1}$$ e se $$0<t<n$$ temos $$0<a^t-1<a^n-1$$ e assim $$a^n-1$$ não divide $$a^t-1$$. Como $$a^j\equiv1\pmod{m} \Rightarrow ord_m a|j$$ temos portanto $$n|\phi(a^n-1)$$.

Comece notando que $$mdc(n!,n!+1)=1\Rightarrow f(n)=mdc((n+1)!,n!+1)=mdc(n+1,n!+1)$$. Se $$n+1=p$$ primo, então pelo Teorema de Wilson temos $$n!\equiv(p-1)!\equiv -1 \pmod{p} \Rightarrow n+1|n!+1\Rightarrow f(n)=n+1$$. Se $$n+1$$ não é primo, então para cada fator primo $$q$$ de $$n+1$$, teremos $$q<n+1$$ $$\Rightarrow q\le n \Rightarrow q|n$$!. Com isso, podemos concluir que nesse caso $$f(n)=1$$.

Observe que:

$$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2} + \dfrac{2}{a_n} = \dfrac{a_n^2+4}{2a_n}$$ $$ \Rightarrow a_{n+1}\pm 2=\dfrac{a_n^2\pm 4a_{n}+4}{2a_{n}}=\dfrac{(a_{n} \pm 2)^2}{2a_n}$$

Assim, temos que:

$$\dfrac{a_{n+1}+2}{a_{n+1}-2}=(\dfrac{a_n+2}{a_n-2})^2$$ para todo $$n\ge1$$.

Assim, é fácil ver que, por indução:

$$\dfrac{a_n+2}{a_n-2}=(\dfrac{a_1+2}{a_1-2})^{2^{n-1}}=(\dfrac{4+2}{4-2})^{2^{n-1}} = 3^{2^{n-1}}$$

Com isso, concluímos que:

$$a_n=2(\dfrac{3^{2^{n-1}}+1}{3^{2^{n-1}}-1})$$ para todo $$n\ge 1$$.