INICIANTE
Alguns pinos estão em um tabuleiro de xadrez. A cada segundo, um dos pinos move para uma casa vizinha (lado em comum). Após muito tempo verificou-se que cada pino havia passado por todas as casas do tabuleiro exatamente uma vez e tinha voltado para a sua casa inicial. Prove que existiu um momento em que todos os pinos estavam fora de sua casa inicial.
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INTERMEDIÁRIO
Se $$n$$ é um inteiro não-negativo, prove que os números $$n+2$$ e $$n^2+n+1$$ não podem ser ambos cubos perfeitos.
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AVANÇADO
Resolva o sistema:
$$x^2-4\sqrt{3x-2}+10=2y$$
$$y^2-6\sqrt{4y-3}+11=x$$
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