Escrito por Akira Ito
Iniciante
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Da cinemática, temos:
$$\Delta y=\dfrac{1}{2}at^2$$
Logo:
$$\boxed{t_p\approx 25\,\textrm{s}}$$
b) Segunda lei de Newton:
$$ f=ma $$
As forças atuantes são o peso e a resistência do ar, logo:
$$ mg-bv=ma $$
$$ \boxed{a=g-\dfrac{bv}{m}} $$
Note o sinal negativo na força de resistência do ar pois, enquanto Endy desce com o peso apontando no mesmo sentido de sua velocidade, a força de resistência do ar aponta no sentido contrário.
c) Segunda lei de Newton no estado de velocidade terminal:
$$f=mg-bv_{max}=0$$
Assim, temos:
$$b=\dfrac{mg}{v_{max}}$$
$$\boxed{b=7,5\,\textrm{kg/s}}$$
d) A distância percorrida deve ser $$\Delta H=3\,km$$. Usando a área do gráfico vermelho:
$$A=\Delta H$$
$$\Delta H=\dfrac{(66,7\cdot 15)}{2}+66,7\cdot (t_p-15) $$
$$\boxed{t_p\approx 52,4\,\textrm{s}}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$\boxed{t_p\approx 25\,\textrm{s}}$$
b) $$ \boxed{a=g-\dfrac{bv}{m}} $$
c) $$\boxed{b=7,5\,\textrm{kg/s}}$$
d) $$\boxed{t_p\approx 52,4\,\textrm{s}}$$
[/spoiler]
Intermediário
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Eletricidade
[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Seja $$P$$ o ponto a partir do qual a carga foi abandonada. Logo, por conservação de energia entre os pontos $$P$$ e $$A$$:
$$ -qV_P=-qV_A+\dfrac{1}{2}mv_A^2 $$
Analogamente, entre os pontos $$P$$ e $$B$$:
$$ -qV_P=-qV_B+\dfrac{1}{2}mv_B^2 $$
Em que $$V_I$$ representa o potencial elétrico no ponto $$I$$. Perceba também que o meio hemisfério gera metade do potencial elétrico de uma casca esférica no ponto $$A$$, assim:
$$ V_A=\dfrac{k_0\sigma}{2R} $$
Por fim, note que o hemisfério se comporta como uma superposição de uma casca de esfera de de mesma densidade de carga positiva e de um outro hemisfério com a densidade de oposta na parte superior. Assim, vale a relação:
$$ V_P=\dfrac{k_0\sigma}{R} -V_B $$
Em que $$ \dfrac{k_0\sigma}{R} $$ representa o potencial de uma casca uniformemente carregada com densidade $$\sigma$$ e raio $$R$$. Resolvendo o sistema com as quatro equações acima, encontramos:
$$\boxed{v_B=\sqrt{2}v_A}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\boxed{v_B=\sqrt{2}v_A}$$
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Circuitos[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
A caixa azul completamente anula a presença do capacitor. Uma possível explicação para isso é que existe um indutor dentro da caixa, de forma que a impedância do indutor cancela a do capacitor. Para isso acontecer, temos que:
$$ Z_C+Z_L=0$$
$$\dfrac{1}{i\omega C}+i\omega L=0$$
$$L=\dfrac{1}{\omega^2C}$$
b)
A condição de máxima transferência de potência é que a resistência interna deve ser igual à externa. Logo $$R_{caixa}=R=10\Omega$$ e:
$$ \boxed{R’=20\Omega}$$
A potência dissipada na caixa é:
$$P=\dfrac{R_{caixa}I^2}{2}$$
Em que $$I$$ é a amplitude da corrente. Sabemos que $$i=U/R$$, logo:
$$P=\dfrac{R_{caixa}\epsilon^2}{2R’^2}$$
$$\boxed{P=1,25W}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
Um indutor em série com um resistor
b)
$$\boxed{P=1,25W}$$
[/spoiler]