Iniciante
O mecanismo para se observar algo consiste em alguns passos,basicamente haverá um cruzamento de raios luminosos que irão chegar em seus olhos e criar uma imagem na retina, e com isso seu cérebro recebe a informação e codifica pra você ver o que você vê. Esses raios luminosos vem do objeto observado, no caso de uma parede, por exemplo, os raios de luz chegam na parede, refletem, chegam em seus olhos, e voilá! A imagem é formada. No caso, quando olhamos para o horizonte, nós temos a visão de quase tudo a frente, pois já que a terra é curva a partir de um momento não podemos mais observar a “frente”,pense por exemplo em duas pessoas, uma no brasil e outra no japão, elas estão praticamente em lados opostos do globo,logo olhando pra frente de onde estão não podem ver um ao outro, pois a luz se propaga em linha reta e não vai “dar uma volta” no mundo pra chegar onde você quer. O limite do nosso horizonte está no ponto em que os raios de luz emitidos por nossos olhos passam “tangenciando” a terra,ou seja,o vetor de propagação do raio passa paralelo à superfície da terra naquele ponto. O ponto onde você está localizado está a uma distância $$(R+h)$$ do centro da terra, considerando que você está a uma altura h, a distância entre seu olho e o ponto limite do horizonte pode ser encontrado com um pouco de geometria.A distância entre você e o centro da terra é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos $$d$$ (sua distância ao horizonte), e $$R$$, assim, podemos fazer:
$$(R+h)^2=R^2+d^2$$
$$d=\sqrt[2]{2Rh+h^2}$$
O triângulo é retângulo pois os raios luminosos tangenciam a terra, fazendo assim 90 graus com o vetor “Raio da terra”.
Intermediário
A altura da bola deve ser dada por:
$$h=h_{pro} \pm \delta h$$
Em que $$h_{pro}$$ é a altura que corresponde à melhor estimativa sua, e $$\delta h$$ é a incerteza na sua medida.
A incerteza na nossa medida por ser estimada a partir da graduação do nosso instrumento de medida, como antes foi usado, a incerteza pode ser estimada como metade da graduação:
$$\delta h=0,5 mm$$
Tomamos como regra que a nossa melhor estimativa (pra erros estimados) deve ser um múltiplo da incerteza. Nesse caso pra cada região de valores temos que admitir um valor para a melhor estimativa (Como assim? :O)
Por exemplo, imagine você fazendo as contas e pegando um valor para $$h$$, como por exemplo, $$0,3 mm$$, para esse caso devemos arrendondar o número pra o múltiplo mais próximo da incerteza, no caso temos $$0,0 mm$$ e $$0,5 mm$$. $$0,3$$ é mais próximo de $$0,5$$, assim nosso valor mais provável é $$0,5$$ mm. Então nós nunca iremos achar o $$h$$ previsto,mas uma região em que ele está. Se ele tiver entre $$0,0 mm$$ e $$0,25 mm $$, seu valor na nossa declaração de dados será $$0,00 mm$$, se entre $$0,25$$ mm e $$0,75$$ mm nossa declaração seria $$0,5 mm$$,entre $$0,75 mm$$ e $$1,25 mm$$ teríamos $$1,00 mm$$ e daí por diante….. Para nossa medida ser válida vamos estimar que nossa incerteza pode ser no máximo $$20%$$ por cento do valor mais provável, ou seja:
$$0,2.h_{prop}>\delta h$$
$$h_{pro}>2,5 mm$$
Agora indo para as colisões, a medida que a bolinha ricochetear no chão, irá voltará a uma altura limite cada vez menor,graças ao fato da colisão da bolinha com o chão dissipar energia a cada batida. Temos que:
$$\frac{v_{afas}}{v_{aprox}}=e$$
Em que $$e$$ é o coeficiente de restituição da bolinha, $$v_{afas}$$ é a velocidade relativa de afastamento e $$v_{aprox}$$ é a velocidade relativa de aproximação. A velocidade de afastamento da bolinha é a que ela “sobe” depois da colisão, e a de aproximação é a que ela chega ao chão. Considere a colisão “n”, após a colisão com o chão a partícula vai subir com velocidade $$v$$, chegar a um pico, e voltar ao chão com uma velocidade de queda $$v$$,colidindo e subindo com velocidade $$ev$$. Assim a cada colisão a velocidade sofre uma redução,pois é multiplicada por um fator $$e$$ que é menor que um. Podemos achar a velocidade de “subida” após uma colisão genérica se soubermos a velocidade da bolinha antes de qualquer colisão. Se a bolinha chega com $$v_{o}$$, após n colisões ela terá:
$$v_{n}=e^n v_{o}$$
E, com essa nova velocidade, a partícula chegará a uma nova altura ,menor que a anterior, podemos achar isso conservando a energia da bolinha (ela se conserva durante o vôo, é dissipada durante e somente nas colisões) o trabalho do peso é igual à variação de energia cinética, logo:
$$mgh_{n}=\frac{mv_{n}^2}{2}$$
$$h_{n}=\frac{v_{n}^2}{2g}$$
$$h_{n}=e^{2n} \frac{v_{o}^2}{2g}$$
Sabemos que ela foi jogada de uma altura H no começo, conservando energia até o momento da primeira colisão:
$$mgH=\frac{mv_{o}^2}{2}$$
$$\frac{v_{o}^2}{2g}=H$$
$$h_{n}=e^{2n} H$$
Assim, para cada $$n$$ temos um $$h_{n}$$, temos com isso então uma função de $$n$$, e vários dados,podemos construir com isso uma curva exponencial e achar nosso $$e$$.
Avançado
Vamos considerar aqui que as partículas numa superfície qualquer podem sofrer forças mediantes apenas a dois estímulos:
-Contato com a superfície
-Interação com o resto do ambiente
Assim a força na i-ésima partícula é dada por:
$$F_{i}=F_{i}^{a} +f_{i}$$
Dado um sistema de n partículas, sabemos que as forças de contato não realizaram trabalho sobre “deslocamentos virtuais”, e o que são esses deslocamentos virtuais?? Considere uma superfície genérica,num dado instante de tempo t. Mantendo esse tempo t constante vamos mexer a partícula por essa superfície através de deslocamentos “virtuais”, pois são deslocamentos “imaginários”, “hipotéticos”,mas que podem afetar sim a energia da partícula (Forças de vínculos não ideais como o atrito causam dissipação de energia por deslocamentos virtuais).Basicamente um deslocamento virtual faz uma translação no espaço mantendo o tempo constante.Enfim, denotaremos deslocamentos virtuais infinitesimais por $$\delta x$$.
$$\sum_{i=1}^{n} f_{i}.\delta x_{i} =0$$
$$\sum_{i=1}^{n}(F_{i}-F_{i}^{a}).\delta x_{i} =0$$
Mas $$F_{i}$$ (Força resultante em i):
$$F_{i}=m_{i} \frac{dv_{i}}{dt}$$
E nosso deslocamento virtual pode ser decomposto de maneira agradável(decompondo o vetor em N graus de liberdade ortogonais):
$$\delta x_{i}= \sum_{k=1}^{N}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} \delta q_{k}$$
Reescrevendo nosso somatório:
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{N} (m_{i} \frac{dv_{i}}{dt} -F_{i}^{a})\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} \delta q_{k}=0$$ (1)
E chamamos:
$$\sum_{k=1}^{N} F_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}=Q_{k}$$ (2)
de k-ésima componente da força generalizada.
Podemos também reescrever o primeiro termo da soma de uma maneira mais inteligente.
Note que:
$$\frac{\partial v_{i}}{\partial \dot{q_{k}}}=\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}$$ (3)
Pois a projeção do vetor deslocamento em k é em proporção igual à projeção do vetor velocidade em k, pois “$$\delta x_{k}=\dot{q_{k}} dt$$”.Assim:
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{N} m_{i} \frac{dv_{i}}{dt} \frac{\partial v_{i}}{\partial \dot{q_{k}}}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{N}[\frac{d}{dt}(m_{i} \frac{\partial{v_{i}}}{\partial\dot{q_{k}}} v_{i})-m_{i}v_{i} \frac{d}{dt}(\frac{\partial v_{i}}{\partial \dot{q_{k}}})]$$
No final ficamos com dois termos, o termo da direita pode ser escrito de maneira mais concisa se fizermos (3) de volta nele,pois:
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}})=\frac{\partial v_{i}}{\partial q_{k}}$$
Assim, se definirmos $$T$$ como:
$$T=\sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i}v_{i}^2}{2}$$ (Energia Cinética)
e usamos:
$$m_{i}v_{i}\frac{dv_{i}}{dp}=\frac{d}{dp}(\frac{m_{i}v_{i}^2}{2})$$
Sendo $$p$$ uma variável genérica, e temos:
$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{N} [\frac{d}{dt}(\frac{\partial}{\partial \dot{q_{k}}}(\frac{m_{i}v_{i}^2}{2})) -\frac{\partial}{\partial q_{k}}(\frac{m_{i}v_{i}^2}{2})]=$$
$$\sum_{k=1}^{N}[\frac{d}{dt}(\frac{\partial}{\partial \dot{q_{k}}}(\sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i}v_{i}^2}{2})-\frac{\partial}{\partial q_{k}}(\sum_{i=1}^{n} \frac{m_{i}v_{i}^2}{2})]=$$
$$\sum_{k=1}^{N}[\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{k}}})-\frac{\partial T}{\partial q_{k}}] (4)$$
Juntando nossas equações para reescrever (1), temos:
$$\sum_{k=1}^{N}[\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{k}}}) -\frac{\partial T}{\partial q_{k}} -Q_{k}]\delta q_{k} =0$$
E isso tem que ser verdade para um deslocamento virtual arbitrário, e já que todas direções são independentes entre si devemos impor a condição que o termo multiplicando deve ser zero pra todas componentes k (todos zeros pois vale para qualquer deslocamento virtual).
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{k}}}) -\frac{\partial T}{\partial q_{k}}=Q_{k}$$
Que é uma das equações mais gerais da mecânica, o princípio de D’Alembert!! Dela podemos derivar a equação de Euler-Lagrange se supormos as seguintes condições:
1-As forças no sistema são conservativas
2-A energia potencial do sistema não depende da velocidade da partícula.
Podemos escrever então:
$$Q_{k}=-\frac{\partial V}{\partial q_{k}}$$ (Força é menos o gradiente da energia potencial)
Escrevendo também:
$$L=T-V$$ (Definição)
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial (T-V)}{\partial \dot{q_{k}}})-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_{k}}=0$$
Perceba que subtrai a energia potencial no primeiro termo, a derivada parcial dela em $$\dot{q_{k}}$$(não depende de v) deve ser $$0$$, logo apenas somei $$0$$ à equação, assim temos:
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}}) -\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=0$$
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{k}}})=\frac{\partial L}{\partial q_{k}}$$
Como queríamos demonstrar.
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