Soluções Matemática – Semana 30

INICIANTE:

É claro que $$a \ge b$$. Por absurdo, suponha que $$a>b$$. Note que

$$b(a^2+ab+1) - a(b^2+ab+1) = b-a $$

e portanto

$$b^2+ba+1 | a-b $$

Por outro lado,

$$b^2+ab+1>a-b$$,

absurdo. Assim, $$a=b$$.

INTERMEDIÁRIO:

Seja $$p$$ um primo $$\ge3$$ e diferente de $$5$$. Temos $$\dfrac{5^{2p-2}-1}{2p} = \dfrac{5^{2(p-1)}-1}{2p} = \dfrac{(5^{p-1}-1)}{p} \cdot \dfrac{(5^{p-1}+1)}{2}$$. Analisando módulo $$p$$, pelo pequeno Teorema de Fermat, $$5^{p-1}\equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow 5^{p-1} - 1 \equiv 0 \pmod{p}$$ e $$5^{p-1} \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow 5^{p-1} + 1 \equiv 0 \pmod{2}$$. Assim, $$\dfrac{5^{p-1}-1}{p}$$ é inteiro e $$\dfrac{5^{p-1}+1}{2}$$ é inteiro $$\Rightarrow \dfrac{5^{n-2}-1}{n}$$ é inteiro quando $$n=2p$$. Como existem infinitos primos $$p$$, existem infinitos $$n$$ que satisfazem a condição do enunciado.

AVANÇADO:


Como nossa desigualdade é homogênea, podemos supor, sem perder a generalidade, que $$a+b+c=1$$.

Assim, como $$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$$ é convexa nos reais positivos, temos:

$$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \ge \dfrac{1}{\sqrt{a^{3}4+b^3+c^3+24abc}}$$.

Resta então mostrar que $$a^3+b^3+c^3+24abc \le 1 = (a+b+c)^3$$, mas isso ocorre, pois é o mesmo que $$\displaystyle\sum_{sym} a^{2}b \ge \displaystyle\sum_{sym} abc $$ (verdadeiro por MA-MG, ou Muirhead).