Escrito por Lucas Cavalcante
Iniciante
O Sol é um ácido ?
O pH, ou potencial hidrogeniônico, é uma característica de misturas de substâncias que indica o qual ácido ou básico essa mistura pode ser e é definida como \(\text{pH} = -\log \left[ H^+ \right]\), onde \(\left[ H^+ \right]\) é a concentração do íon \(H^+\) na mistura em \(mol/L\). Esse potencial pode ser associado a uma estrela, como o Sol, uma vez que o principal processo para a liberação de energia envolve a fusão de hidrogênio em hélio, a qual gera \(26,73\) MeV, dos quais \(97,7\%\) são utilizados para a luminosidade emitida pela estrela. Considerando que \(70\%\) da massa total do Sol é formada por hidrogênio, seu tempo de vida atual é de \(4,6\) bilhões de anos, sua luminosidade e raio permaneceram constantes durante esse tempo encontre o pH do Sol no momento de sua formação.
Intermediário
Observação de Obazs Rotieh
O cientista maluco Obazs Rotieh estava desenvolvendo uma nova invenção que lançava fótons a partir do decaimento de méson \(\pi^0\), e ele estava com dificuldade para calcular algumas informações desse decaimento, então pediu a sua ajuda.
Um méson \(\pi^0\) com massa de repouso \(m_0\) decai em dois fótons seguindo a equação \(\pi^0 \rightarrow 2\gamma\). Chame \(\theta_1\) e \(\theta_2\) os ângulos que a trajetória dos fótons fazem com a trajetória original do méson no referencial do laboratório de Obazs Rotieh. Considere que a energia total do méson no referencial do laboratório é \(E\), encontre:
a) as energias \(E_1\) e \(E_2\) de ambos os fótons em função de \(E\), \(m_0\), \(\theta_1\) e \(\theta_2\).
b) a velocidade \(v\) do méson no referencial do laboratório na situação e que um fotón possui a maior energia possível \(E_{\text{max}}\), enquanto o outro possui a menor energia \(E_{\text{min}}\). Expresse a resposta em função de \(E_{\text{max}}\), \(E_{\text{min}}\) e a velocidade da luz \(c\).
Avançado
Vetores
Muitas vezes, as fórmulas de trigonometria esférica podem ser longas, difíceis de memorizar ou até complicadas de aplicar e visualizar em determinadas situações. Nesse contexto, uma ferramenta bastante útil para substituir essas fórmulas são os vetores e as operações vetoriais. Assim, esta questão irá abordar as principais operações com vetores e situações em que sua aplicação é de grande utilidade.
a) Escreva o produto escalar \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) entre dois vetores e o produto vetorial \(\vec{A} \times \vec{B}\), indicando a direção do vetor resultante no caso do produto vetorial.
b) Em problemas de astronomia de posição, o sistema de coordenadas que utilizamos considera o centro da Terra como o centro do sistema, já que ele também é o centro da esfera celeste, servindo de referência para os sistemas de coordenadas astronômicos, como os sistemas horizontal, equatorial e eclíptico. Portanto, para uma estrela com ascensão reta \(\alpha\) e declinação \(\delta\), encontre o vetor posição dessa estrela, considerando o raio da esfera celeste como unitário, as estrelas fixas nela e um sistema de coordenadas em que o eixo \(z\) aponta para o polo equatorial norte e o eixo \(x\) aponta para o ponto vernal.
c) Agora que já sabemos representar a posição de uma estrela na esfera celeste utilizando vetores, use o resultado anterior para calcular a separação angular entre duas estrelas no céu, considerando conhecidas as coordenadas equatoriais de ambas.
d) Um uso muito comum de vetores em astronomia de posição ocorre em problemas que envolvem a trajetória de estrelas ou asteroides, onde é necessário determinar os pontos de encontro entre essas trajetórias. Considerando um sistema de coordenadas horizontal em que o azimute \(0\) corresponde ao ponto cardeal norte, um asteroide foi observado nas alturas \(h_1\) e \(h_2\) e azimutes \(A_1\) e \(A_2\), enquanto outro asteroide foi observado nas coordenadas \(h_3\), \(h_4\), \(A_3\) e \(A_4\). Encontre as coordenadas dos pontos de encontro entre os asteroides.