Escrito por Lucas Cavalcante
Iniciante
O Sol é um ácido ?
Primeiramente, devemos determinar a quantidade de hidrogênio presente atualmente no Sol. Sabemos que a massa do Sol é composta por \(70\%\) de hidrogênio. Portanto:
\[N_{H,a} = \dfrac{0,7M_{\odot}}{m_H} \approx 1,4 \cdot 10^{33}\]
onde \(m_H\) é a massa de \(1\) mol de hidrogênio, equivalente a \(1 \; g\). Além disso, a principal reação de fusão que ocorre no interior do Sol é:
\[4 \; ^1\text{H}^+ + 2 \; e^- \rightarrow \; ^4\text{He}^{2+} + 2 \; \nu_e\]
Uma parte da energia emitida por essa reação é convertida em luminosidade. Assim, podemos encontrar uma expressão para o número de reações que ocorrem (\(N_r\)) ao longo da vida do Sol:
\[L = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}\]
\[\Delta E = L\Delta t = N_r \times 0,977 \times 26,73 \cdot 10^6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}\]
\[N_r = \dfrac{L \Delta t}{0,977 \times 26,73 \cdot 10^6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}} \approx 1,3 \cdot 10^{55}\]
Para cada reação, \(4\) mols de hidrogênio são convertidos em hélio. Logo, a quantidade total de hidrogênio (\(N_H\)) que foi transformada em hélio é:
\[N_H = 4 N_r = 5,32 \cdot 10^{55}\]
Por fim, a quantidade de hidrogênio na formação do Sol, considerando o número atual de hidrogênio e a quantidade perdida durante sua vida, é:
\[N_{H,0} = N_H + N_{H,a} = 5,32 \cdot 10^{55}\]
O pH do Sol na sua formação, definido como \(pH = -\log[H^{+}]\), será dado por:
\[pH_0 = -\log\left(\dfrac{N_{H,0}}{V}\right) = -\log\left(\dfrac{N_{H,0}}{\dfrac{4\pi R_{\odot}^3 \times 1000}{3}}\right)\]
\[\boxed{pH_0 \approx -25,58}\]
Intermediário
Observação de Obazs Rotieh
a) Conservando a energia e o momento no processo de decaimento, temos as seguintes expressões:
\[E = E_1 + E_2\]
\[p = p_1 \cos\theta_1 + p_2 \cos\theta_2\]
\[p_1 \sin\theta_1 = p_2 \sin\theta_2\]
Podemos encontrar uma relação entre \(\cos\theta_1\) e \(\cos\theta_2\) a partir da conservação do momento na vertical:
\[p_1 \sin\theta_1 = p_2 \sin\theta_2 \Rightarrow p_1^2 (1 – \cos^2\theta_1) = p_2^2 (1 – \cos^2\theta_2)\]
\[\cos^2\theta_2 = 1 -\left(\dfrac{p_1}{p_2}\right)^2 + \left(\dfrac{p_1}{p_2}\right)^2\cos^2\theta_1\]
Substituindo a expressão obtida e a conservação de energia na conservação do momento na horizontal, sabendo que \(E_1 = p_1c\) e que \(pc = \sqrt{E^2 – (m_0c^2)^2}\):
\[p = p_1 \cos\theta_1 + p_2 \cos\theta_2 \Rightarrow p^2 – 2pp_1\cos\theta_1 + p_1^2\cos^2\theta_1 = p_2^2 – p_1^2 + p_1^2\cos^2\theta_1\]
\[E^2 – (m_0c^2)^2 – 2\sqrt{E^2 – (m_0c^2)^2} E_1 \cos\theta_1 = E_2^2 – E_1^2\]
\[E^2 – (m_0c^2)^2 – 2\sqrt{E^2 – (m_0c^2)^2} E_1 \cos\theta_1 = (E – E_1)^2 – E_1^2\]
\[\boxed{E_1 = \dfrac{m_0^2c^4}{2}\dfrac{1}{E – \cos\theta_1\sqrt{E^2 – (m_0c^2)^2}}}\]
Analogamente, para o segundo fóton:
\[\boxed{E_2 = \dfrac{m_0^2c^4}{2}\dfrac{1}{E – \cos\theta_2\sqrt{E^2 – (m_0c^2)^2}}}\]
b) As condições de energia máxima e mínima ocorrem quando \(\cos \theta_1 = 1\) e \(\cos \theta_2 = -1\), resultando em:
\[E_{max} = \dfrac{m_0^2c^4}{2}\dfrac{1}{E – \sqrt{E^2 – (m_0c^2)^2}}\]
\[E_{min} = \dfrac{m_0^2c^4}{2}\dfrac{1}{E + \sqrt{E^2 – (m_0c^2)^2}}\]
Dividindo a primeira expressão pela segunda, obtemos:
\[\dfrac{E_{max}}{E_{min}} = \dfrac{E + \sqrt{E^2 – (m_0c^2)^2}}{E – \sqrt{E^2 – (m_0c^2)^2}}\]
Como a energia de uma partícula pode ser escrita como \(E = \gamma m_0c^2\), a expressão \(\sqrt{E^2 – m_0c^2} = pc\) e o momento pode ser expresso como \(p = \gamma m_0 v\):
\[\dfrac{E_{max}}{E_{min}} = \dfrac{\gamma m_0c^2 + \gamma m_0vc}{\gamma m_0c^2 – \gamma m_0vc}\]
\[\dfrac{E_{max}}{E_{min}} = \dfrac{c + v}{c – v}\]
\[\boxed{v = \dfrac{E_{max} – E_{min}}{E_{max} + E_{min}}}\]
Avançado
Vetores
a) O produto escalar entre dois vetores pode ser escrito como:
\[\boxed{\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta}\]
onde \(\theta\) é o ângulo entre os vetores. Alternativamente, essa operação pode ser expressa como:
\[\boxed{\vec{A} \cdot \vec{B} = x_A x_B + y_A y_B + z_A z_B}\]
com \(x_i\), \(y_i\) e \(z_i\) representando as coordenadas do vetor \(i\) nos eixos \(x\), \(y\) e \(z\), respectivamente.
Para o produto vetorial, ele também pode ser expresso de duas maneiras:
\[\boxed{|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta}\]
\[\boxed{\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix}\hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\x_A & y_A & z_A \\x_B & y_B & z_B\end{vmatrix} = (y_Az_B-y_Bz_A)\hat{x} + (x_Bz_A – x_Az_B)\hat{y} + (x_Ay_B – x_By_A)\hat{z}}\]
Para determinar a direção do vetor resultante na primeira expressão, deve-se usar a regra da mão direita, indicando que o vetor resultante será perpendicular a ambos os vetores \(\vec{A}\) e \(\vec{B}\). Na segunda expressão, como os versores indicam diretamente as componentes nos eixos \(x\), \(y\) e \(z\), a direção do vetor resultante é definida pelas coordenadas calculadas.
b) Para encontrar as coordenadas do vetor posição no plano cartesiano, primeiro devemos representá-las no plano:
A partir da imagem, as componentes nos eixos \(x\), \(y\) e \(z\) são:
\[\boxed{x = \cos\delta\cos\alpha}\]
\[\boxed{y = \cos\delta\sin\alpha}\]
\[\boxed{z = \sin\delta}\]
c) A distância angular entre duas estrelas no céu é o ângulo formado entre os vetores posição das estrelas. A forma mais simples de encontrar esse ângulo é usando o produto escalar, pois assim não é necessário calcular o determinante de uma matriz. Para determinar o ângulo, calculamos o produto escalar a partir da expressão das componentes dos vetores nos eixos \(x\), \(y\) e \(z\), obtidas no item \textbf{b}, considerando que os módulos dos vetores são unitários (raio da esfera celeste).
\[\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta\]
\[\cos\theta = x_A x_B + y_A y_B + z_A z_B\]
\[\cos\theta = \cos\delta_A\cos\alpha_A\cos\delta_B\cos\alpha_B + \cos\delta_A\sin\alpha_A\cos\delta_B\sin\alpha_B + \sin\delta_A\sin\delta_B\]
Essa expressão é equivalente à fórmula da trigonometria esférica, pois \(\cos(A – B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B\). Substituindo esse resultado:
\[\boxed{\cos\theta = \cos\delta_A\cos\delta_B\cos(\alpha_A – \alpha_B) + \sin\delta_A\sin\delta_B}\]
d) No caso em que as coordenadas utilizadas são horizontais, as expressões para as componentes dos vetores são semelhantes às coordenadas equatoriais, substituindo \(\delta\) por \(h\) e \(\alpha\) por \(A\). Suponha que utilizamos os vetores \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), \(\vec{C}\) e \(\vec{D}\), com componentes \(x_i\), \(y_i\) e \(z_i\). Para encontrar os pontos em que as trajetórias dos asteroides se cruzam, podemos analisar a situação considerando os planos definidos por essas trajetórias. Os pontos de interseção entre esses planos são determinados pela reta que forma a interseção e tem módulo unitário, já que representa um ponto na esfera celeste.
Para encontrar essa interseção, devemos calcular o produto vetorial entre os vetores normais aos planos. Um vetor normal é perpendicular ao plano e, portanto, ao calcular o produto vetorial de dois vetores posição que pertencem ao plano, obtemos um vetor normal:
\[\vec{N_1} = \vec{A} \times \vec{B} = (y_A z_B – y_B z_A)\hat{x} + (x_B z_A – x_A z_B)\hat{y} + (x_A y_B – x_B y_A)\hat{z}\]
\[\vec{N_2} = \vec{C} \times \vec{D} = (y_C z_D – y_D z_C)\hat{x} + (x_D z_C – x_C z_D)\hat{y} + (x_C y_D – x_D y_C)\hat{z}\]
Para determinar os pontos de encontro, calculamos o produto vetorial entre \(\vec{N_1}\) e \(\vec{N_2}\). Como a reta de interseção está nos dois planos, ela é perpendicular a ambos os vetores normais:
\[\vec{I} = \vec{N_1} \times \vec{N_2} = (y_1 z_2 – y_2 z_1)\hat{x} + (x_2 z_1 – x_1 z_2)\hat{y} + (x_1 y_2 – x_2 y_1)\hat{z}\]
Agora, substituímos as expressões dos componentes \(x_i\), \(y_i\) e \(z_i\) para as coordenadas horizontais:
\[x = \cos h \cos A, \quad y = \cos h \sin A, \quad z = \sin h\]
Finalmente, obtemos:
\[\boxed{\sin h = (y_A z_B – y_B z_A)(x_D z_C – x_C z_D) – (y_C z_D – y_D z_C)(x_B z_A – x_A z_B)}\]
\[\boxed{\cos A = \dfrac{(x_B z_A – x_A z_B)(x_C y_D – x_D y_C) – (x_D z_C – x_C z_D)(x_A y_B – x_B y_A)}{\cos h}}\]
onde \(x_A = \cos h_1 \cos A_1\), \(y_A = \cos h_1 \sin A_1\), \(z_A = \sin h_1\), e assim por diante para os outros vetores.