Escrito por Franklin Costa
Iniciante
Selene
Para observar o disco lunar em sua totalidade, o novo campo da ocular deverá ser $$3$$ vezes maior que o campo da ocular antiga, uma vez que o campo é inversamente proporcional ao aumento $$A=\frac{f}{f_{ocu}}$$, a distância focal da ocular deverá aumentar em $$3$$ vezes.
Intermediário
Cubo
Pela lei de Stefan-Boltzman, temos que $$L=A\sigma T^4$$, onde $$A$$ é a área superfícial do corpo e $$T$$ sua temperatura de cor. Sendo assim, podemos calcular a razão entre as luminosidades como:
\[\frac{L_2}{L_1}=\frac{A_2}{A_1}=\frac{6\cdot 4R^2}{4\pi R^2}=\frac{6}{\pi}\Rightarrow \boxed{\frac{L_2}{L_1}\approx 1{,}91}\]
Avançado
Hipoteticamente
Na condição limite para que o Sol se tornasse um buraco negro, seu raio R teria de ser igual ao seu raio de Schwarzschild, ou seja, $$R=\frac{2GM}{c^2}$$. Pelo critério de tangência $$r_e=R$$. Sendo assim, podemos calcular o desvio da luz como:
\[\theta=\frac{4GM}{r_ec^2}=2\ \text{rad} \Rightarrow \boxed{\theta \approx 114{,}65^\circ}\]
Internacional
A Ira de Henri Lebesgue
a) Se nomearmos $$t_i$$ e $$\epsilon_i$$ a transmitância e emissividade de cada camada $$i$$, respectivamente, vamos ter pela lei de Beer-Lambert que $$t_i=e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}$$. Considerando a conservação da energia, temos que $$\epsilon_i=1-t_i=1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}$$. Aplicando a lei de Stefan- Boltzman:
\[\boxed{A_i=4\pi R_{i+1}^2 \sigma T_i^4\cdot (1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)})}\]
\[\boxed{B_i=4\pi R_i^2 \sigma T_i^4\cdot (1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)})}\]
b) Para o fluxo que vem de $$S$$ chegar na camada $$i$$ ele terá que passar pelas camadas $$i+1$$,$$i+2$$,…e $$N$$, contudo para cada casca $$j$$ o fluxo será multiplicado por um fator de $$t_i$$, sendo assim:
\[\boxed{S_i=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}) \cdot S \cdot e^{-k\sum_{j=i+1}^{N}\rho_j(R_{j+1}-R_j)}}\]
Analogamente, para o fluxo $$G$$ vamos ter:
\[\boxed{G_i=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}) \cdot G\cdot e^{-k\sum_{j=1}^{N-1}\rho_j(R_{j+1}-R_j)}}\]
c) Pelos mesmos argumentos do item anterior:
\[\boxed{C_{ij}=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}) \cdot (1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})4\pi R_{j}^2\sigma T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=i+1}^{j-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)}}\]
\[\boxed{D_{ij}=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}) \cdot (1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})4\pi R_{j+1}^2\sigma T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=j+1}^{i-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)}}\]
d) Para obter $$C_i$$ e $$D_i$$ basta fazer o somatório em $$j$$ de $$C_{ij}$$ e $$D_{ij}$$, respectivamente, com extremos de soma adequados, logo:
\[\boxed{C_{i}=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)})\sum_{j=i+1}^{N}(1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})4\pi R_{j}^2\sigma T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=i+1}^{j-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)} }\]
\[\boxed{D_{i}=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)})\sum_{j=1}^{i-1}(1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})4\pi R_{j+1}^2\sigma T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=j+1}^{i-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)}}\]
e) Para haver equilíbrio radiativo na casca, toda radiação que a casca emite tem de ser igual a radiação que ela absorve:
\[A_i+B_i=S_i+G_i+C_i+D_i\Rightarrow\]
\[\boxed{(R_{i+1}^2+R_i^2)\cdot T_i^4=\frac{S}{4\pi\sigma} \cdot e^{-k\sum_{j=i+1}^{N}\rho_j(R_{j+1}-R_j)}+\frac{G}{4\pi\sigma}\cdot e^{-k\sum_{j=1}^{i-1}\rho_j(R_{j+1}-R_j)}\qquad +\sum_{j=i+1}^{N}(1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})\cdot R_{j}^2\cdot T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=i+1}^{j-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)}\qquad +\sum_{j=1}^{i-1}(1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})\cdot R_{j+1}^2\cdot T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=j+1}^{i-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)}}\]
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