Escrito por Franklin Costa
Iniciante
Selene
Pepe está ansioso para observar a Lua, sua pressa faz com que ele pegue a primeira ocular que encontrar. Ao utilizar essa ocular no seu telescópio $$f/9$$ de $$70\ \text{mm}$$ de diâmetro, ele consegue observar apenas $$1/3$$ da Lua. O que deve acontecer com a distância focal da ocular para que Pepe observe todo o disco lunar?
a) Deve aumentar em $$3$$ vezes
b) Deve diminuir em $$3$$ vezes
c) Deve permanecer inalterada, mas o diâmetro terá de ser $$210\ \text{mm}$$
d) Deve permanecer inalterada, mas a razão focal terá de ser $$f/3$$
Intermediário
Cubo
Após um truque de mágica mal executado transformar o Sol em um cubo, cientistas confirmaram que a medida do lado do novo Sol é $$2$$ vezes o valor do raio antigo do Sol e que a temperatura dele não mudou após o falho truque. Sabendo disso, calcule qual a razão entre as luminosidades nova e antiga do Sol.
Avançado
Hipoteticamente
Lente gravitacional é um fenômeno em que a luz de uma fonte distante pode ser desviada pela curvatura do espaço-tempo causada por um objeto massivo (a lente) próximo ou na linha de visão entre um observador e um objeto distante. No caso em que o observador, o objeto de massa da lente e a fonte estão em linha reta, a luz da fonte é desviada por um ângulo (em radianos) dado por:
\[\theta=\frac{4GM}{r_ec^2}\]
onde $$G$$ é a constante gravitacional, $$c$$ é a velocidade da luz e $$r_e$$ é o raio de Einstein, que é a menor distância entre o objeto em lente e o caminho aparente da luz. Se o Sol fosse um buraco negro, qual seria o valor dessa deflexão?
Observação: Considere, para este cálculo, que o Sol tem o raio mínimo para isso e o raio de luz é tangente ao seu raio.
Internacional
A Ira de Henri Lebesgue
O Dr. Henri Lebesgue está irado. Após deparar-se com mais um gabarito defendendo um modelo simplista de atmosfera isotérmica, sua fúria atingiu níveis divinos. Agora ele ameaça usar seus poderes para reduzir o universo a cinzas. Para evitar o apocalipse, você deve desenvolver um método mais preciso para a atmosfera terrestre.
Considere a Terra como uma esfera cobertas por $$N$$ cascas esféricas, onde cada camada $$i$$ possui raio interno $$R_i$$, raio externo $$R_{i+1}$$, temperatura $$T_i$$, densidade $$\rho_i$$, coeficiente de opacidade $$\kappa$$ e albedo $$0$$. Vamos tomar como modelo que a principal maneira de transmissão de calor na atmosfera é por radiação e que a atmosfera é alimentada por duas fontes de energia: uma potência geotérmica $$G$$ gerada na superfície terrestre por processos internos e uma potência solar $$S$$ no topo da atmosfera.
a) Calcule as potências geradas na parte superior $$A_i$$ e na parte inferior $$B_i$$ de cada camada $$i$$.
b) Calcule as potências $$S_i$$ e $$G_i$$ geradas por $$S$$ e $$G$$, respectivamente, que são absorvidas pela camada $$i$$.
c) Calcule as potências $$C_{ij}$$ e $$D_{ij}$$ geradas por uma camada $$j$$ superior e por uma camada $$j$$ inferior, respectivamente, que são absorvidas pela camada $$i$$.
d) Calcule as potências $$C_i$$ e $$D_i$$ geradas pelas camadas inferiores e pelas camadas superiores, respectivamente, que são absorvidas pela camada $$i$$.
e) Escreva a equação para o equilíbrio radiativo da camada $$i$$.
Tomando o limite para o caso contínuo, ou seja, $$N$$ tendendo a infinito, pode-se provar que essa equação se torna
\[2r^2T^4(r)=\frac{S}{4\pi\sigma} \cdot e^{-k\int_{r}^{R_a}\rho(R)\, dR}+\frac{G}{4\pi\sigma}\cdot e^{-k\int_{R_T}^{r}\rho(R)\, dR}\qquad +\int_{r}^{R_a}\kappa\rho(u)\cdot u^2\cdot T^4(u)\cdot e^{-k\int_{r}^{u}\rho(R)\, dR}\, du\qquad +\int_{R_T}^{r}\kappa\rho(u)\cdot u^2\cdot T^4(u)\cdot e^{-k\int_{r}^{u}\rho(R)\, dR}\, du\]
onde $$R_T$$ é o raio da Terra e $$R_a$$ é o raio da atmosfera.
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