Escrito por Davi Lucas
Iniciante
Leis de Kepler
A Segunda Lei de Kepler, conhecida como Lei das Áreas, afirma que a velocidade areolar de um planeta é constante. Isso significa que a linha que conecta o planeta à sua estrela varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
Dessa forma, a área varrida (\(A\)) é diretamente proporcional ao tempo decorrido (\(\Delta t\)). Podemos expressar a constância da velocidade areolar pela seguinte relação:
\[ v_{\text{areolar}} = \frac{A_1}{\Delta t_1} = \frac{A_2}{\Delta t_2} \]
Para encontrar a razão entre as áreas, reorganizamos a equação:
\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{\Delta t_1}{\Delta t_2} \]
Substituindo os valores dados (\(\Delta t_1 = 30\) dias e \(\Delta t_2 = 90\) dias), obtemos:
\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{30}{90} \rightarrow \boxed{\frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{3}} \]
A própria lei das áreas nos dá a resposta. Para que a área varrida por segundo seja constante, o planeta precisa se mover mais rápido quando está mais perto da estrela (para compensar o “raio” menor) e mais devagar quando está longe. Como o trecho 1 é o mais próximo, sua velocidade média é maior. Você também poderia analisar a conservação de energia e chegar no mesmo resultado.
Intermediário
Força Gravitacional
Sabendo que um vetor \(\vec{r}\) pode ser escrito como \(\vec{r} = |\vec{r}| \cdot \hat{r}\), onde \(|\vec{r}|\) é o seu módulo (ou seja, o tamanho do vetor) e \(\hat{r}\) é o seu versor (um vetor unitário que indica a direção), podemos encontrar a magnitude da força a partir da sua equação vetorial.
Partindo da lei da gravitação:
\[ \vec{F} = G\frac{m_1m_2}{r^3} \vec{r} \]
Para encontrar a relação entre as magnitudes, aplicamos o operador módulo em ambos os lados:
\[ |\vec{F}| = \left| G\frac{m_1m_2}{r^3} \vec{r} \right| \]
Como \(G\), \(m_1\), \(m_2\) e \(r^3\) são escalares positivos, e sabendo que \(|\vec{r}| = r\), a equação se torna:
\[ F = G\frac{m_1 m_2}{r^3} \cdot r \]
Simplificando, chegamos à fórmula da magnitude da força:
\[ \boxed{F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}} \]
Com esta fórmula, concluímos que quanto maior a distância \(r\), menor a força \(F\). Essa é uma relação de inverso do quadrado, o que nos permite esboçar o seguinte gráfico:
Avançado
A Dieta de uma Estrela: Perda de massa
O problema pede para calcular a taxa de perda de massa da estrela, \(\frac{\Delta M}{\Delta t}\), com base nas variações observadas na órbita de seu planeta. O ponto de partida é a 3ª Lei de Kepler em sua forma Newtoniana para órbitas circulares, que relaciona a massa da estrela (\(M\)) com o raio (\(r\)) e o período (\(T\)) da órbita:
\[ GM = \frac{4\pi^2 r^3}{T^2} \]
Isolando a massa da estrela, temos:
\[ M = \frac{4\pi^2}{G} \left( \frac{r^3}{T^2} \right) \]
Como \(M\), \(r\) e \(T\) estão variando com o tempo, aplicamos a aproximação para pequenas variações (\(\frac{\Delta}{\Delta t}\)). Utilizando a dica fornecida no enunciado, a relação para a taxa de variação da massa é:
\[ \frac{\Delta M}{\Delta t} = \frac{4\pi^2}{G} \left( \frac{3r^2}{T^2}\frac{\Delta r}{\Delta t} – \frac{2r^3}{T^3}\frac{\Delta T}{\Delta t} \right) \]
Agora, substituímos os valores fornecidos.
Calculamos cada termo dentro do parêntese separadamente.
Termo 1:
\[ \frac{3r^2}{T^2}\frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{3(2.0 \cdot 10^{11} m )^2}{(4.0 \cdot 10^7 s)^2} \cdot (5.0 \frac{m}{s}) = 3.75 \cdot 10^{8} \frac{m^3}{s^3} \]
Termo 2:
\[ \frac{2r^3}{T^3}\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{2 \cdot (2.0 \cdot 10^{11} \text{ m})^3}{(4.0 \cdot 10^7 \text{ s})^3} \cdot \left( 2 \frac{\text{s}}{\text{s}} \right) = 5 \cdot 10^{11} \frac{\text{m}^3}{\text{s}^3} \]
Subtraindo os termos e multiplicando pela constante externa:
\[ \frac{\Delta M}{\Delta t} = \frac{4\pi^2}{6.67\cdot 10^{-11}} \left( 3.75 \cdot 10^8 – 5 \cdot 10^{11}{} \right) \]
\[ \frac{\Delta M}{\Delta t} = \frac{4\pi^2}{6.67 \cdot 10^{-11}}{} \left( – 4.996 \cdot 10^{11} \right) \]
\[ \frac{\Delta M}{\Delta t} \approx (5.92 \cdot 10^{11}{}) \cdot (-4.996 \cdot 10^{11}{}) \approx – 2.958 \cdot 10^{23} \frac{\rm{kg}}{\rm{s}} \]
A taxa de perda de massa da estrela Ahniduamp é de aproximadamente:
\[\boxed{ \frac{\Delta M}{\Delta t} \approx -2,96 \times 10^{23} \text{ kg/s} }\]
O sinal negativo confirma que a estrela está, de fato, perdendo massa.
Internacional
Enigma da matéria escura
a) Usamos a fórmula do efeito Doppler não relativístico \(v_r = c \frac{\lambda_{obs} – \lambda_0}{\lambda_0}\) para cada galáxia. Por brevidade, os resultados são compilados na tabela abaixo (velocidades em \(\times 10^6 m/s\)).
| Galáxia | \(v_r (10^6 \frac{\rm{m}}{\rm{s}})\) | Galáxia | \(v_r (10^6 \frac{\rm{m}}{\rm{s}})\) | Galáxia | \(v_r (10^6 \frac{\rm{m}}{\rm{s}})\) |
| 1 | 1.28 | 11 | 2.06 | 21 | 1.37 |
| 2 | 0.78 | 12 | 0.41 | 22 | 1.01 |
| 3 | 2.24 | 13 | 2.38 | 23 | 2.15 |
| 4 | 1.60 | 14 | 0.91 | 24 | 0.32 |
| 5 | 1.87 | 15 | 1.65 | 25 | 2.83 |
| 6 | 0.55 | 16 | 1.96 | 26 | 1.51 |
| 7 | 2.65 | 17 | 1.14 | 27 | 1.69 |
| 8 | 1.19 | 18 | 2.56 | 28 | 0.87 |
| 9 | 1.74 | 19 | 0.69 | 29 | 2.47 |
| 10 | 1.46 | 20 | 1.78 | 30 | 1.23 |
b) A soma correta das 30 velocidades é \(46.35 \cdot 10^6 \text{ m/s}\). A velocidade média é:
\[ \bar{v}_r = \frac{\sum_{i=1}^{30} v_i}{30} = \frac{46.35 \cdot 10^6}{30} \rightarrow \boxed{ \bar{v}_r = 1.545 \cdot 10^6 \text{ m/s}} \]
Com a média correta, a dispersão de velocidades radiais (\(\sigma_r\)) é o desvio padrão da amostra:
\[ \sigma_r = \sqrt{\frac{\sum(v_i – \bar{v}_r)^2}{N-1}} = \sqrt{\frac{1.411 \cdot 10^{13}}{29}} \approx \sqrt{4.86 \cdot 10^{11}} \rightarrow \boxed{ \sigma_r \approx 6.97 \cdot 10^5 \text{ m/s}} \]
c) A energia cinética total (\(K\)) de um sistema de massa \(M\) é \(K = \frac{1}{2} M \langle v^2 \rangle\). Assumindo um movimento isotrópico, a dispersão de velocidades tridimensional (\(\sigma_{3D}\)) está relacionada à dispersão radial por \(\sigma_{3D}^2 = \langle v^2 \rangle = \sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sigma_z^2 = 3\sigma_r^2\). Portanto, a expressão para a energia cinética é:
\[ K = \frac{1}{2} M \sigma_{3D}^2 \rightarrow \boxed{ K = \frac{3}{2} M \sigma_{r}^2} \]
d) O Teorema do Virial é \(2K + U = 0 \implies 2K = -U\). Substituindo as expressões para \(K\) e \(U\):
\[ 2 \left( \frac{3}{2} M \sigma_{r}^2 \right) = – \left( -\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R} \right) \implies \boxed{M = \frac{5 R \sigma_{r}^2}{G}} \]
Substituindo os valores numéricos corrigidos:
\[ M = \frac{5 \cdot (7 \cdot 10^{22} \text{ m}) \cdot (6.97 \cdot 10^5 \text{ m/s})^2}{6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2} \approx \frac{5 \cdot (7 \cdot 10^{22}) \cdot (4.86 \cdot 10^{11})}{6.67 \cdot 10^{-11}} \]
\[ M = \frac{1.70 \cdot 10^{35}}{6.67 \cdot 10^{-11}} \]
\[ \boxed{ M_{\text{total}} \approx 2.55 \cdot 10^{45} \text{ kg} } \]
e) Primeiro, convertemos a massa luminosa para kg:
\[ M_{\text{lum}} = (3 \cdot 10^{14} M_{\odot}) \cdot (2 \cdot 10^{30} \text{ kg}/M_{\odot}) = 6 \cdot 10^{44} \text{ kg} \]
A massa de matéria escura é a diferença entre a massa total e a massa luminosa:
\[ M_{\text{escura}} = M_{\text{total}} – M_{\text{lum}} = (2.55 \cdot 10^{45} \text{ kg}) – (6 \cdot 10^{44} \text{ kg}) = 1.95 \cdot 10^{45} \text{ kg} \]
Finalmente, a porcentagem de matéria escura corrigida é:
\[ \%_{\text{escura}} = \frac{M_{\text{escura}}}{M_{\text{total}}} \cdot 100\% = \frac{1.95 \cdot 10^{45} \text{ kg}}{2.55 \cdot 10^{45} \text{ kg}} \cdot 100\% \]
\[ \boxed{ \%_{\text{escura}} \approx 76.5\% } \]
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