Escrito por Davi Lucas
Iniciante
Leis de Kepler
Um planeta descreve a órbita elíptica ao redor de uma estrela mostrada na figura. Leva-se um tempo \(\Delta t_1 = 30 \, \rm{dias}\) para percorrer o trecho 1 e \(\Delta t_2 = 90 \, \rm{dias}\) para percorrer o trecho 2. Logo, qual é a razão entre as áreas do trecho \( \frac{A_2}{A_1}\) e em qual dos dois trechos a velocidade orbital média do cometa é maior?
Intermediário
Força Gravitacional
A Lei da Gravitação Universal descreve a força de atração mútua entre dois corpos de massa \(m_1\) e \(m_2\), cujos centros de massa estão separados por uma distância \(r\). A força gravitacional vetorial é dada por:
\[ \vec{F} = G\frac{m_1m_2}{r^3} \vec{r}\]
Nesta expressão, \(G\) é a constante gravitacional e \(r\) é a magnitude do vetor posição \(\vec{r}\) (ou seja, \(r = |\vec{r}|\)), que representa a distância entre as duas massas de raios \(R\).
Com base na equação vetorial fornecida, esboçe o gráfico que representa a magnitude da força, \(F = |\vec{F}|\), em função da distância \(r\) quando r > R
Avançado
A Dieta de uma Estrela: Perda de massa
O exoplaneta “Leinad”, de massa \(m\), descreve uma órbita inicialmente estável e circular de raio \(r = 2 \cdot 10^{11} m\) ao redor de sua estrela-mãe, “Ahniduamp”, de massa \(M\). O período orbital do planeta é de \(T = 4 \cdot 10^7 s\) (aproximadamente 1,27 anos terrestres).
Devido a processos internos, a estrela Ahniduamp começou a ejetar massa para o espaço através de ventos estelares intensos. Astrônomos observando o sistema notaram que a órbita de Leinad já não é mais estável. As medições indicam que o raio da órbita do planeta está aumentando a uma taxa constante de \(\frac{\Delta r}{\Delta t} = 5 \frac{m}{s}\), e seu período orbital também está aumentando a uma taxa de \(\frac{\Delta T}{\Delta t} = 2 \frac{s}{s}\) (ou seja, a cada segundo, o período orbital aumenta em 2 segundos).
Com base nestas observações, calcule a taxa com que a estrela Ahniduamp está perdendo massa (\(\frac{\Delta M}{\Delta t}\)), em quilogramas por segundo.
Dica
\[\frac{\Delta}{\Delta t}\left(\frac{ r^3}{T^2}\right) = \frac{3r^2}{T^2}\frac{\Delta r}{\Delta t} – \frac{2r^3}{T^3}\frac{\Delta T}{\Delta t} \]
Internacional
Enigma da matéria escura
Um astrônomo investiga o aglomerado de galáxias de Virgem, tratando-o como um sistema esférico e dinamicamente estável. Para estimar a massa total do aglomerado (e assim inferir a quantidade de matéria escura), ele mede o desvio para o vermelho (redshift) de 30 galáxias distintas, focando na linha espectral H-alfa. O comprimento de onda de repouso desta linha, medido em laboratório, é \(\lambda_0 = 656.3 \rm{nm}\)
Os comprimentos de onda observados para cada galáxia são apresentados na tabela abaixo:
| Galáxia | \(\lambda_{obs} (nm)\) | Galáxia | \(\lambda_{obs} (nm)\) | Galáxia | \(\lambda_{obs} (nm)\) |
| 1 | 659.1 | 11 | 660.8 | 21 | 659.3 |
| 2 | 658.0 | 12 | 657.2 | 22 | 658.5 |
| 3 | 661.2 | 13 | 661.5 | 23 | 661.0 |
| 4 | 659.8 | 14 | 658.3 | 24 | 657.0 |
| 5 | 660.4 | 15 | 659.9 | 25 | 662.5 |
| 6 | 657.5 | 16 | 660.6 | 26 | 659.6 |
| 7 | 662.1 | 17 | 658.8 | 27 | 660.0 |
| 8 | 658.9 | 18 | 661.9 | 28 | 658.2 |
| 9 | 660.1 | 19 | 657.8 | 29 | 661.7 |
| 10 | 659.5 | 20 | 660.2 | 30 | 659.0 |
Com base nestes dados e nos itens a seguir, determine a quantidade de matéria escura no aglomerado.
a) Calcule a velocidade radial (\(v_r\)) de cada galáxia considerando as aproximações não relativísticas.
b) Determine a velocidade radial média (\(\bar{v}_r\)) do aglomerado e, em seguida, calcule a dispersão de velocidades radiais (\(\sigma_r\)), que é o desvio padrão da amostra.
c) Assumindo um movimento isotrópico, escreva a expressão para a energia cinética total do aglomerado em função de sua massa total \(M\) e da dispersão de velocidades radiais \(\sigma_r\).
d) O Teorema do Virial para um sistema estável afirma que \(2K + U = 0\), onde a energia potencial gravitacional é \(U \approx -\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}\). Sendo o raio do aglomerado de Virgem \(R \approx 7 \cdot 10^{22} \rm{m}\), use o teorema para derivar uma expressão e calcular a massa total \(M\) do aglomerado.
e) A massa luminosa (visível) do aglomerado é estimada em \(M_{lum} = 3 \cdot 10^{14} M_{\odot}\), onde a massa do Sol é \(M_{\odot} \approx 2 \cdot 10^{30}\rm{kg}\). Qual é a porcentagem de matéria escura no aglomerado de Virgem?
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