Escrito por Alexandre Monte
Iniciante
Eclipse Lunar Anular (10 pontos)
Sabe-se que durante um eclipse lunar total, a sombra da Terra (umbra) é maior do que a Lua. Suponha que possamos afastar a Lua da Terra.
a) (5 pontos) A partir de qual distância Terra-Lua o raio da umbra da Terra passa a ser menor do que o raio da Lua, permitindo a ocorrência de um “eclipse lunar anular” hipotético (centro escuro pela umbra e bordas iluminadas pela penumbra)?
b) (5 pontos) Qual é a distância máxima em que a umbra da Terra ainda atinge a superfície da Lua? O que ocorre para um observador lunar se o astro estiver além dessa distância?
Dados: $d_{\odot-Terra} = 1,496 \cdot 10^{11}$ m, $d_{Terra-Lua} = 3,844 \cdot 10^8$ m, $r_\odot = 6,96 \cdot 10^8$ m, $r_\oplus = 6,38 \cdot 10^6$ m, $r_{Lua} = 1,74 \cdot 10^6$ m.
Intermediário
Lua de “Sangue Brasileiro” (20 pontos)
O eclipse lunar que ocorrerá na virada de 27 para 28 de agosto de 2026 será um dos grandes eventos astronômicos do ano para as Américas, especialmente para o Brasil, onde poderá ser acompanhado na íntegra de todas as regiões do país. Embora seja classificado formalmente como um eclipse lunar parcial, ele é considerado um eclipse “quase total” ou “profundo”. No ponto máximo do fenômeno (por volta das 04h12min UTC do dia 28 de agosto), cerca de $95\%$ (uma média das estimativas) da superfície do disco lunar estará mergulhada na umbra da Terra (a região de sombra mais escura). Por conta de uma cobertura tão extensa, apenas uma pequena borda externa permanecerá sob a luz direta do Sol, permitindo que grande parte da Lua adquira a famosa e marcante tonalidade avermelhada (mecanismo provocado pela refração e dispersão da luz solar na atmosfera da Terra).
Por se tratar de um eclipse lunar, a observação é totalmente segura a olho nu (diferente dos eclipses solares, não exige o uso de óculos com filtro especial).
a) (10 pontos) Determine a distância angular entre o ponto mais distante da Lua (em 2D) e o centro da sombra (Umbra).
b) (10 pontos) Considerando o mês draconiano igual a 27,21222 dias solares médios, o mês sinódico 29,53059 dias solares médios e o mês anomalístico 27,55455 dias solares médios, quando (data e hora), e onde esse eclipse ocorrerá novamente na série de Saros número 141, sabendo que a série de Saros desse eclipse é a de número 138? Além disso, esse eclipse será um parcial, parcial profundo ou total? (determine também a duração de um período de Saros)
Dados: $d_{\odot-Terra} = 1,496 \cdot 10^{11}$ m, $d_{Terra-Lua} = 3,844 \cdot 10^8$ m, $r_\odot = 6,96 \cdot 10^8$ m, $r_\oplus = 6,38 \cdot 10^6$ m, $r_{Lua} = 1,74 \cdot 10^6$ m
Avançado
O Eclipse Achatado no Solstício de Verão (40 pontos)
Um observatório de alta precisão localizado na latitude $\phi = 45^\circ\text{ N}$ registra um eclipse solar parcial ocorrendo exatamente no pôr do Sol do Solstício de Verão do Hemisfério Norte.
Devido ao forte gradiente de refração atmosférica próximo ao horizonte, o disco solar sofre um achatamento vertical. O Sol aparenta ser uma elipse perfeita com semi-eixo maior horizontal $a = R_0 = 16′ $ e semi-eixo menor vertical $b = k R_0$, onde $k = 0{,}80$ é o fator de compressão vertical atmosférica. A equação do disco solar no sistema de coordenadas cartesianas locais $(x, y)$, centradas no centro do disco solar, com o eixo $x$ paralelo ao horizonte e o eixo $y$ apontando para o Zênite, é dada por:
$$\frac{x^2}{R_0^2} + \frac{y^2}{(k R_0)^2} \le 1$$
Considere que a velocidade angular de rotação da Terra é $\Omega_\oplus = 15^\circ/\text{h} $.
a) (13 pontos) Determine o ângulo horário $H_0$ no instante $t = 0$ em que o centro do disco solar atinge a altura aparente $h_\odot = 0^\circ$. Escreva a equação da velocidade angular vertical de descida do Sol nesse momento em função de $\Omega_\oplus, \phi$ e $\delta$ e calcule seu valor numérico em $\text{rad/s}$.
b) (12 pontos) Considerando o modelo elíptico achatado do Sol, demonstre que a taxa instantânea com que o horizonte oculta a área solar $\frac{dA_{horiz}}{dt}$, quando o centro do Sol está na altura $h_\odot \ge 0$, é dada por:
$\frac{dA_{horiz}}{dt} = 2 v_y \sqrt{R_0^2 – \left(\frac{h_\odot}{k}\right)^2}$
Calcule o valor numérico dessa taxa no instante em que $h_\odot = 0$, em $\text{rad}^2/\text{s}$.
c) (15 pontos) No exato instante $h_\odot = 0$, a Lua (assumida circular e não deformada, com raio $R_0$) está posicionada no semiplano superior com seu centro exatamente sobre o eixo vertical a uma distância $d_0 = R_0$ do centro do Sol, ou seja, na posição $(x_M, y_M) = (0, R_0)$. A velocidade relativa do centro da Lua em relação ao centro do Sol é um vetor $\vec{v}_{rel} = v_0 (\cos\theta \, \hat{i} + \sin\theta \, \hat{j})$ de módulo constante $v_0 = 0{,}5”/\text{s}$. Determine o ângulo $\theta_{opt}$ da velocidade relativa que maximiza a taxa total de perda de área solar visível $\left|\frac{dA_{total}}{dt}\right|$ no instante $h_\odot = 0$, e calcule o valor numérico dessa taxa máxima absoluta.
Internacional
Lanterna Verde e os Eclipses (80 pontos)
O fenômeno do Raio Verde (Green Flash) ocorre nos últimos instantes do pôr do Sol, quando a refração e a dispersão cromática na atmosfera terrestre separam a borda superior do disco solar em um fino espectro colorido. Durante um eclipse solar parcial no pôr do Sol, a borda do Sol é reduzida a uma fenda muito fina (estreito filete de luz), o que otimiza a nitidez da dispersão angular, tornando-o um pouco menos raro nessas situações.
Considere um observador na superfície terrestre sob uma atmosfera isotérmica de ar ideal em equilíbrio hidrostático, onde $z$ é a altitude acima da superfície terrestre, $r_\oplus = 6370\,\text{km}$ é o raio da Terra e $H_0 = 8{,}0\,\text{km}$ é a altura de escala da atmosfera.
PARTE A: Óptica Geométrica e Refração Atmosférica
a) (4 pontos) A partir da equação do equilíbrio hidrostático e da equação de estado dos gases ideais para uma atmosfera isotérmica, demonstre que a densidade atmosférica em função da altitude $z$ é dada por $\rho(z) = \rho_0 e^{-z/H_0}$ identificando analiticamente a altura de escala $H_0$.
b) (2 pontos) Sabendo que a refractividade do ar $(n-1)$ é diretamente proporcional à densidade local (relação de Gladstone-Dale), demonstre a fórmula do índice de refração nessa atmosfera:
\[
n(\lambda, z) – 1 = \delta_0(\lambda) \, e^{-z/H_0}
\]
onde $\delta_0(\lambda)$ representa a refractividade ao nível do mar ($z=0$).
c) (10 pontos) A partir do modelo clássico do oscilador de Lorentz para a resposta de um elétron ligado a um campo elétrico incidente longe das frequências de ressonância, demonstre a fórmula de dispersão de Cauchy para a refractividade ao nível do mar (também encontre os valores algébricos de A e B):
\[
\delta_0(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2}
\]
sendo $A = 2{,}72 \times 10^{-4}$ e $B = 3{,}0 \times 10^{-15}\,\text{m}^2$.
d) (4 pontos) Demonstre a Lei de Snell para meios esféricos estratificados,
\[
n(r) \cdot r \cdot \sin(i(r)) = \text{constante}
\]
onde $r = r_\oplus + z$ e $i(r)$ é o ângulo de incidência do raio de luz com a vertical local.
e) (12 pontos) Demonstre que a refração astronômica total $\mathcal{R}_0(\lambda)$ para um raio vindo do horizonte ($i(0) = 90^\circ$) é dada por:
\[
\mathcal{R}_0(\lambda) = \delta_0(\lambda) \sqrt{\frac{\pi r_\oplus}{2 H_0}}
\]
Dica: Utilize a aproximação $z \ll r_\oplus$ e a integral gaussiana/Função Gamma $\int_0^\infty u^{-1/2} e^{-u} \, du = \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$.
PARTE B: Eletrodinâmica, Extinção Espectral e Duração do Fenômeno
f) (5 pontos) Demonstre a Lei de Beer-Lambert para a atenuação da intensidade luminosa de um feixe diferencial ao atravessar um meio extintor, obtendo $I(x) = I_0 e^{-\tau}$, e defina o conceito de profundidade óptica $\tau$.
g) (9 pontos) A partir da taxa de radiação emitida por um dipolo elétrico acelerado induzido pela onda eletromagnética incidente (espalhamento Rayleigh), e da fórmula de Larmor, demonstre a fórmula da secção de choque de espalhamento em função do inverso da quarta potência do comprimento de onda, $\sigma_R(\lambda) \propto \lambda^{-4}$, em função da polarizabilidade molecular $\alpha$ da permissividade elétrica do vácuo, $\epsilon_0$, e de constantes matemáticas.
h) (4 pontos) A partir da secção de choque de espalhamento de dipolo e da integração da densidade de coluna ao longo da trajetória da luz no horizonte, demonstre a fórmula da profundidade óptica em relação a $\lambda^4$:
$\tau_R(\lambda) = \left(\frac{\lambda_c}{\lambda}\right)^4$
onde $\lambda_c = 480\,\text{nm}$ é o comprimento de onda crítico de extinção no horizonte.
i) (9 pontos) A física clássica falhava em explicar a radiação de corpo negro para altas frequências, um problema conhecido como a “catástrofe do ultravioleta”. Em 1900, Max Planck resolveu este impasse ao postular que a troca de energia entre os osciladores na parede de uma cavidade ressonante e o campo eletromagnético ocorre em pacotes discretos (quanta), onde a energia de cada modo de frequência $\nu$ é dada por $E_n = nh\nu$ (com $n = 0, 1, 2, \dots$).
Considerando uma cavidade cúbica tridimensional em equilíbrio térmico na temperatura absoluta $T$, sabe-se que o número de modos de vibração eletromagnéticos por unidade de volume na faixa de frequências entre $\nu$ e $\nu + d\nu$ é dado por:
\[g(\nu)d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} d\nu\]
A partir da hipótese de quantização de Planck e utilizando a distribuição estatística de Boltzmann, demonstre que a densidade de energia espectral $u(\nu, T)$ da radiação no interior da cavidade é expressa por:
$u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} – 1}$
Dado: $\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$ para $|q| < 1$.
j) (4 pontos) Utilizando a relação entre a densidade de energia $u(\nu, T)$ e a radiância espectral em termos do comprimento de onda, dada por $I(\lambda, T) = \frac{c}{4}\pi u(\lambda, T)$, mude a variável da equação anterior para o comprimento de onda ($\lambda$). Em seguida, mostre que, no regime de altas energias ($hc \gg \lambda k_B T$), a expressão se aproxima da Lei de Wien para a radiação solar:
$I_{sol}(\lambda) \approx \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} e^{-\frac{hc}{\lambda k_B T}}$
com $T_{sol} = 5800\,\text{K}$.
k) (9 pontos) Por que o raio verde é verde e não azul ou violeta, se o azul sofre maior refração?
Considere que a intensidade do espectro solar transmitido através da atmosfera no horizonte é modulada pelo espalhamento de Rayleigh (eletrodinâmica de dipolo induzido),
(com $T_{sol} = 5800\,\text{K}$). Assim, escreva a expressão para o espectro de intensidade transmitido $I_{trans}(\lambda)$ e demonstre a condição diferencial que determina o comprimento de onda do pico de intensidade $\lambda_{pico}$. Calcule $\lambda_{pico}$ e mostre que ele se encontra precisamente na faixa do verde.
l) (8 pontos) Durante um eclipse no equinócio em uma latitude $\phi = 45^\circ\,\text{N}$, a borda superior do Sol é visível como uma fenda finíssima. O “raio verde” começa no instante em que a componente vermelha ($\lambda_R = 700\,\text{nm}$) da borda superior do Sol se põe no horizonte e termina quando a componente verde ($\lambda_G = 530\,\text{nm}$) também se põe.
Deduza a expressão analítica para a duração $\Delta t_{GF}$ do raio verde em função dos parâmetros atmosféricos, orbitais e cromáticos, e calcule o seu valor numérico em segundos. (Considere a velocidade angular de rotação da Terra $\Omega_\oplus = 7{,}27 \times 10^{-5}\,\text{rad/s}$).
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