Soluções – Semana 125

Escrito por Franklin Costa

Iniciante

Selene

Para observar o disco lunar em sua totalidade, o novo campo da ocular deverá ser $3$ vezes maior que o campo da ocular antiga, uma vez que o campo é inversamente proporcional ao aumento $A=\frac{f}{f_{ocu}}$, a distância focal da ocular deverá aumentar em $3$ vezes.

Intermediário

Cubo 

Pela lei de Stefan-Boltzman, temos que $L=A\sigma T^4$, onde $A$ é a área superfícial do corpo e $T$ sua temperatura de cor. Sendo assim, podemos calcular a razão entre as luminosidades como:

$$\frac{L_2}{L_1}=\frac{A_2}{A_1}=\frac{6\cdot 4R^2}{4\pi R^2}=\frac{6}{\pi}\Rightarrow \boxed{\frac{L_2}{L_1}\approx 1{,}91}$$

Avançado

Hipoteticamente

Na condição limite para que o Sol se tornasse um buraco negro, seu raio R teria de ser igual ao seu raio de Schwarzschild, ou seja, $R=\frac{2GM}{c^2}$. Pelo critério de tangência $r_e=R$. Sendo assim, podemos calcular o desvio da luz como:

$$\theta=\frac{4GM}{r_ec^2}=2\ \text{rad} \Rightarrow \boxed{\theta \approx 114{,}65^\circ}$$

Internacional

A Ira de Henri Lebesgue

a) Se nomearmos $t_i$ e $\epsilon_i$ a transmitância e emissividade de cada camada $i$, respectivamente, vamos ter pela lei de Beer-Lambert que $t_i=e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}$. Considerando a conservação da energia, temos que $\epsilon_i=1-t_i=1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}$. Aplicando a lei de Stefan- Boltzman:

$$\boxed{A_i=4\pi R_{i+1}^2 \sigma T_i^4\cdot (1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)})}$$

$$\boxed{B_i=4\pi R_i^2 \sigma T_i^4\cdot (1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)})}$$

b) Para o fluxo que vem de $S$ chegar na camada $i$ ele terá que passar pelas camadas $i+1$,$i+2$,…e $N$, contudo para cada casca $j$ o fluxo será multiplicado por um fator de $t_i$, sendo assim:

$$\boxed{S_i=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}) \cdot S \cdot e^{-k\sum_{j=i+1}^{N}\rho_j(R_{j+1}-R_j)}}$$

Analogamente, para o fluxo $G$ vamos ter:

$$\boxed{G_i=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}) \cdot G\cdot e^{-k\sum_{j=1}^{N-1}\rho_j(R_{j+1}-R_j)}}$$

c) Pelos mesmos argumentos do item anterior:

$$\boxed{C_{ij}=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}) \cdot (1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})4\pi R_{j}^2\sigma T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=i+1}^{j-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)}}$$

$$\boxed{D_{ij}=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)}) \cdot (1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})4\pi R_{j+1}^2\sigma T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=j+1}^{i-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)}}$$

d) Para obter $C_i$ e $D_i$ basta fazer o somatório em $j$ de $C_{ij}$ e $D_{ij}$, respectivamente, com extremos de soma adequados, logo:

$$\boxed{C_{i}=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)})\sum_{j=i+1}^{N}(1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})4\pi R_{j}^2\sigma T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=i+1}^{j-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)} }$$

$$\boxed{D_{i}=(1-e^{-k\rho_i(R_{i+1}-R_i)})\sum_{j=1}^{i-1}(1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})4\pi R_{j+1}^2\sigma T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=j+1}^{i-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)}}$$

e) Para haver equilíbrio radiativo na casca, toda radiação que a casca emite tem de ser igual a radiação que ela absorve:

$$A_i+B_i=S_i+G_i+C_i+D_i\Rightarrow$$

$$\boxed{(R_{i+1}^2+R_i^2)\cdot T_i^4=\frac{S}{4\pi\sigma} \cdot e^{-k\sum_{j=i+1}^{N}\rho_j(R_{j+1}-R_j)}+\frac{G}{4\pi\sigma}\cdot e^{-k\sum_{j=1}^{i-1}\rho_j(R_{j+1}-R_j)}\qquad +\sum_{j=i+1}^{N}(1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})\cdot R_{j}^2\cdot T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=i+1}^{j-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)}\qquad +\sum_{j=1}^{i-1}(1-e^{-k\rho_j(R_{j+1}-R_j)})\cdot R_{j+1}^2\cdot T_j^4\cdot e^{-k\sum_{k=j+1}^{i-1}\rho_k(R_{k+1}-R_k)}}$$